2015届高三数学(理)一轮复习课件：2.4函数的奇偶性与周期性(人教

第二章

基本初等函数、导数及其应用

第4课时 函数的奇偶性与周期性

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基本初等函数、导数及其应用

1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点

如果对于函数f(x)的定义域内任 y轴 关于______ f ( - x ) = f ( x ) 偶函数 意一个x,都有____________,那 对称 么函数f(x)是偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任 原点 关于______ f ( - x ) =- f ( x ) 奇函数 意一个x,都有_____________, 对称 那么函数f(x)是奇函数

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温馨提醒：(1)所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个 函数一定不具有奇偶性.例如，y=x2 当定义域为区间(-∞, + ∞)时是偶函数，但当定义域为区间 [- 1, 2]时却不具有奇 偶性. (2)f(0)= 0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件.例如， 1 f(x)= 为奇函数， 但 f(0)无意义； 又如 f(x)= 2x- 1 满足 f(0) x = 0,但不是奇函数.但奇函数 f(x)在 x= 0 处有意义，必有 f(0)= 0.

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2.周期性 (1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常 数T, 使 f(x) ,那么 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=________

就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在 一 个

最小 最小 __________ 的正数，那么这个___________ 正数就叫做f(x)的最小正周期. 温馨提醒：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的 周期.栏目 导引

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1. (2014· 广东惠州市调研)下列函数是偶函数的是( D ) A. y= sin x C. y=ex B.y=x3 D. y= ln x2+1

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1 2. (教材习题改编)函数 f(x)= - x 的图象关于 ( C ) x A. y 轴对称 C.坐标原点对称 B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称

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3. (2013· 高考山东卷)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x>0 时， 1 f(x) =x + ,则 f(-1)= ( A ) x2

A.- 2 C. 1

B.0 D. 2

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4.(2013· 高考大纲全国卷)设f(x) 是以2为周 期 的函数，且 当 -1 x∈[1,3)时，f(x)=x-2,则f(-1)=________. 5.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数，那么a 1 3 +b的值是________ .

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判定函数的奇偶性1 (1)f(x)= x - ; x3

(2)f(x)= x2-1+ 1-x2;

(3)f(x)= 0(x=0) . 2 - x -2(x<0)[课堂笔记]

2 x +2( x> 0)

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【解】 (1)

原函数的定义域为 {x|x≠0},关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个 x 都有 1 3 3 1 f(-x)= (- x) - =- (x - )=-f(x), x -x 从而函数 f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为 {-1,1},关于原点对称. 又 f(-1)= f(1)= 0, f(-1)=-f(1)=0,∴f(x)既是奇函数又 是偶函数. (3)f(x)的定义域为 R,关于原点对称， 当 x> 0 时， f(-x)=- (- x)2-2=- (x2+ 2)=- f(x); 当 x< 0 时， f(-x)= (- x)2+ 2=-(-x2- 2)=- f(x); 当 x= 0 时， f(0)=0,也满足 f(-x)=- f(x). 故该函数为奇函数.栏目 导引

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(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：

(2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应 分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断 f(x)与f(-x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.栏目 导引

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1.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 3-2x+ 2x- 3; 4-x2 (2)f(x)= ; |x+ 3|-3 x +x, x> 0, (3)f(x)= 2 x -x, x< 0;2

(4)f(x)= x2- |x-a|+ 2.

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3 【解】 (1)∵函数 f(x)= 3-2x+ 2x- 3的定义域为 2 ,

不关于坐标原点对称，∴函数 f(x)既不是奇函数，也不是 偶函数. 4-x ≥0, (2)由 得-2≤x≤2 且 x≠0,∴ f(x)的定义域为 [- |x+ 3|-3≠0 2

4-x2 2 , 0) ∪ (0 , 2] ,关于原点对称.∴ f(x) = = ( x+ 3)- 3 4-x2 .∴ f(x)=- f(-x),∴ f(x)是奇函数. x栏目 导引

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(3)易知函数的定义域为(- ∞, 0)∪ (0,+ ∞),关于原点对 称，又当 x> 0 时，f(x)=x2+ x,则当 x< 0 时，-x> 0, 故 f(- x)=x2- x= f(x); 当 x< 0 时， f(x)=x2- x,则当 x> 0 时，-x<0,故 f(-x)= x2+x=f(x),故原函数是偶函数. (4)函数 f(x)的定义域为 R. 当 a= 0 时， f(-x)= f(x), ∴ f(x)是偶函数. 当 a≠0 时，f(a)=a2+ 2, f(-a)= a2-2|a|+ 2, f(a)≠f(- a),且 f(a)+f(- a)=2(a2- |a|+ 2) 2 1 7 = 2 |a|- 2 + ≠0, 2 ∴ f(x)是非奇非偶函数.栏目 导引

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函数奇偶性的应用(1)(2013· 高考湖南卷)已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶 函数， 且 f(- 1)+ g(1)=2, f(1)+ g(-1)= 4, 则 g(1)等于 ( B ) A. 4 C. 2 B.3 D. 1

(2)(2014· 江西省七校联考 )定义在 R 上的偶函数 f(x),当 x≥0 时， f(x)= 2x, 则满足 f(1- 2x)< f(3)的 x 的取值范围是 ( A ) A. (- 1, 2) B.(-2,1) C. [- 1, 2] D. (- 2, 1]

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【解析】 (1)∵ f(x)是奇函数，∴f(- 1)=- f(1). 又 g(x)是偶函数，∴g(- 1)= g(1). ∵ f(- 1)+g(1)= 2,∴g(1)- f(1)= 2.① 又 f(1)+g(- 1)=4,∴ f(1)+g(1)=4.② 由①②,得 g(1)=3. (2)依题意得， 函数 f(x)在 [0, + ∞)上是增函数， 且 f(x)= f(|x|), 不等式 f(1-2x)<f(3) f(|1-2x|)< f(3) |1-2x|<3 - 3< 1-2x< 3 -1<x< 2,故选 A.栏目 导引