2013年高考数学 热点专题专练 9-23 函数、导数与不等式、解析几

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专题九 高考题型之解答题

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第二十三讲 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题

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1.函数与不等式型解答题一直是高考的压轴题之一，这类 解答题的命题方式灵活多变，其主要特点有两个：一是涉及的 知识面广泛，从简单的一次函数到复杂的复合后的指数、对数 函数及导数等；二是试题中蕴含着丰富的数学思想方法，考生 必须对数学思想方法有较为深刻的领会，才能做出正确的解 答.这类试题中值得注意的题型是：函数、导数与不等式恒成 立问题，利用函数、导数证明不等式型.解决这类试题时，一 要注意基础知识的正确使用；二要学会对题目中的各种关系做 出分析，实行转化，将新问题转化为我们所熟悉的问题解决， 注意数学思想方法在解决问题中的作用.

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2.高考对平面解析几何的考查主要以圆锥曲线为载体， 综合考查解析几何的基础知识和基本方法，该部分涉及的内容 广泛，方法多，数学思想丰富，又容易和平面向量、函数、不 等式等问题交汇，在高考中多出现新颖别致的试题.由于解析 几何试题的运算量大，在解决解析几何试题时要注意分析题 意，把握问题的实质，注意尽可能地使用数学思想(如设而不 求，代入消元等)简化运算，同时要注意其他知识在解决问题中 的综合应用，使解题过程尽可能地优化.

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3.数列问题中蕴含着丰富的数学思想方法，是考查考生 数学素养的良好素材，数列解答题历来为高考命题者所青睐， 这些新型的数列解答题往往背景新颖，结构简明，数学关系式 对称优美，而涉及的知识仅仅是高中数学中所讲的数列的基本 问题，解决问题的方法也是考生所熟悉的，这类试题也往往是 整套试卷的压轴题.解决这类试题除了灵活地使用基础知识 外，更重要的是要灵活地使用数学的各种推理论证方法，用数 学思想方法作指导灵活地解决问题.

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【例1】 (2012· 天津)已知{an}是等差数列，其前n项和为 Sn,{bn}是等比数列，且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,证明Tn+12=- 2an+10bn(n∈N*). [分析] (1)利用等差数列、等比数列的通项公式、求和公

式建立方程组求解.(2)可以以算代证，利用错位相减法求和， 与自然数有关的问题也可以用数学归纳法证明.

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[解]

(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比

为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由条件， 2+3d+2q3=27, 得方程组 8+6d-2q3=10, d=3, 解得 q=2.

所以an=3n-1,bn=2n,n∈N*.

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(2)证法一：由(1)得 Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1,① 2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n 1a1.② 由②-①,得 Tn=-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2= 12 1-2n 1 n+2 +2 -6n+2=10×2n-6n-10. 1-2- +

而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+10×2n-12=10×2n- 6n-10,故Tn+12=-2an+10bn,n∈N*.

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证法二：(1)当n=1时，T1+12=a1b1+12=16,-2a1+ 10b1=16,故等式成立； (2)假设当n=k时等式成立，即Tk+12=-2ak+10bk,则当 n=k+1时有： Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1 =ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk) =ak+1b1+qTk

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=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12) =2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24 =-2ak+1+10bk+1-12. 即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1. 因此n=k+1时等式也成立. 由(1)和(2),可知对任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn成 立.,

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【例2】 ∈R).

(2012· 陕西)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c

1 (1)设n≥2,b=1,c=-1,证明：fn(x)在区间 2,1 内存在

唯一零点； (2)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)- f2(x2)|≤4,求b的取值范围； 1 (3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在 2,1 内的零点，判断数列

x2,x3,…,xn,…的增减性.

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[分析]

本题主要考查函数的零点、导数与不等式，以及

数列的单调性的判断和恒成立问题的处理，意在考查转化思想 和分类讨论思想的运用.

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[解]

(1)利用函数零点存在定理，结合函数的单调性，得 1 ,1 2

出函数在区间

上的零点个数；(2)结合分类讨论思想，得

出函数在区间[-1,1]上的最值，把恒成立问题转化为简单的解 不等式问题；(3)结合函数的单调性，判断数列的单调性. (1)证明：b=1,c=-1,n≥2时，fn(x)=xn+x-1. 1 1 1 1 ∵fn 2 fn(1)= 2n-2 ×1<0,∴fn(x)在 2,1 内存在零点.

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1 - 又当x∈ 2,1 时，f′n(x)=nxn 1+1>0, 1 1 ∴fn(x)在 2,1 上是单调递增的，∴fn(x)在 2,1 内存在唯

一零点. (2)当n=2时，f2(x)=x2+bx+c., 对任意x1,x2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4等价于f2(x)在 [-1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：