【最新】(人教A版数学,选修1-2)3.2.1《复数代数形式的加减运算及

3．2复数代数形式的四则运算

3．2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

掌握复数加减运算的法则及运算律，理解复数加减运算的几何意义．

2．过程与方法

在问题探究过程中，体会和学习类比、数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程．

3．情感、态度与价值观

通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．

●重点难点

重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题．

难点：复数加减法的几何意义及其应用．

(教师用书独具)

●教学建议

建议本节课采取自主探究式教学，这节课主要是复数的加减法运算，学生可以类比实数的加减法运算理解复数的加减法运算，让学生自主探讨例题1及变式训练的解法，总结规律方法．在讨论复数加法的几何意义时，引导学生联想向量的加法并运用平行四边形法则来进行运算，复数减法的几何意义，可联想向量的减法运用三角形法则来进行运算．教学中应让学生对复数的加法与向量的加法是怎样联系起来并得到统一的过程做出探究．对于一些简单的问题让学生动手去做，让学生起到主体作用，教师起到主导作用．

●教学流程

创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数的和与差的运算．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数加减运算的方法，及其满足的运算律．由学生自主分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善解答疑惑．并要求学生独立完成变式训练．学生分组探究例题2解法，通过引导学生画图，认识复数与向量的对应关系，联想向量运算的几何意义，求出z1＋z2，完成互动探究．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律.

已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )．

1．多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？

【提示】 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.

2．复数的加法满足交换律和结合律吗？

【提示】 满足．

(1)运算法则：

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a 、b 、c 、d ∈R )，则

①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，

②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.

(2)加法运算律：

如图，OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．

1．试写出OZ 1→，OZ 2→及OZ 1→＋OZ 2→，OZ 1→－OZ 2

→的坐标． 【提示】 OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，

OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，

OZ 1→－OZ 2

→＝(a －c ，b －d )． 2．向量OZ 1→＋OZ 2→，OZ 1→－OZ 2

→对应的复数分别是什么？ 【提示】 OZ 1→＋OZ 2

→对应的复数是a ＋c ＋(b ＋d )i ， OZ 1→－OZ 2

→对应的复数是a －c ＋(b －d )i.

图3－2－1

(1)复数加法的几何意义

如图3－2－1：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2

为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ

→. (2)复数减法的几何意义

图3－2－2

如图3－2－2所示，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2

＝c ＋d i 对应，且OZ 1→，OZ 2→不共线，则这两个复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→－OZ 2→(即Z 2Z 1→)对应，这就是复数减法的几何意义．

这表明两个复数的差z 1－z 2(即OZ 1→－OZ 2→)与连接两个终点Z 1，Z 2

，且指向被减数的

向量对应.

(1)(2－3i)＋(－2＋32i)＋1；

(2)(－i 2－13)－(i 3－12)＋i ；

(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)． 【思路探究】 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．

【自主解答】 (1)原式＝(2－2)＋(－3＋

32)i ＋1＝1－32

i. (2)原式＝(－13＋12)＋(－12－13＋1)i ＝16＋16i.

(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i.

复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．

已知复数z 满足z ＋1＋2i ＝10－3i ，求z .

【解】 z ＋1＋2i ＝10－3i ，

∴z ＝(10－3i)－(2i ＋1)＝9－5i.

设OZ 1及OZ 2分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，试计算z 1

＋z 2，并在复平面内作出OZ 1→＋OZ 2

→. 【思路探究】 利用加法法则求z 1＋z 2，利用复数的几何意义作出OZ 1→＋OZ 2

→. 【自主解答】 ∵z 1＝5＋3i ，z 2＝4＋i ，

∴z 1＋z 2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i

∵OZ 1→＝(5,3)，OZ 2

→＝(4,1)， 由复数的几何意义可知，OZ 1→＋OZ 2→与复数z 1＋z 2

对应， ∴OZ 1→＋OZ 2→＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4)．

作出向量OZ 1→＋OZ 2→＝OZ →如图所示．

1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．

2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．

3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．

在题设不变的情况下，计算z 1－z 2，并在复平面内作出OZ 1→－OZ 2

→. 【解】 z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i.

OZ 1→－OZ 2→＝Z 2Z 1→，

故OZ 1→－OZ 2→即为图中Z 2Z 1→.

【思路探究】 利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．

【自主解答】 法一 设w ＝z －3＋4i ，

∴z ＝w ＋3－4i ，

∴z ＋1－i ＝w ＋4－5i.

又|z ＋1－i|＝1，

∴|w ＋4－5i|＝1.

可知w 对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．

如图(1)所示，∴|w |max ＝41＋1，|w |min ＝41－1.

(1) (2)

法二 由条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆， 而|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离，

在圆上与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ，如图(2)所示， 所以|z －3＋4i|max ＝41＋1，|z －3＋4i|min ＝41－1.

|z 1－z 2|表示复平面内z 1，z 2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．

设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.

【解】 法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )．

由题意，知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.

(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，

∴2ac ＋2bd ＝0.

∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2

＝a 2＋c 2＋b 2＋d …… 此处隐藏：6794字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……