matlab离散傅立叶变换

实验二

离散傅立叶变换

一、实验目的 掌握离散傅里叶变换的有关性质。 利用matlab验证有关性质。 利用傅立叶变换进行相关运算。

二、实验原理及方法在工程技术的许多分支中，要掌握的基本 内容之一就是正确理解时域和频域的关系。对 于数字系统来说，就是要精通离散傅立叶变换，

因此离散傅立叶变换在数字信号处理中占有十分重要的地位。在实际应用中，有限长序列有 相当重要的地位，由于计算机容量的限制，只 能对过程进行逐段分析。由于有限长序列，引 入DFT(离散付里叶变换)。

傅里叶变换建立以时间t为自变量的“信号”与以频率f为 自变量的“频率函数”(频谱)之间的某种变换关系。 所以“时间”或“频率”取连续还是离散值, 就形成 各种不同形式的傅里叶变换对。

四种不同傅里叶变换对 傅里叶级数(FS):连续时间, 离散频率的傅里叶变换。

周期连续时间信号傅里叶级数(FS)得到非周期离散频 谱密度函数。 傅里叶变换(FT):连续时间, 连续频率的傅里叶变换。

非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。 序列的傅里叶变换(DTFT):离散时间,连续频率的傅里

叶变换。非周期离散的时间信号(单位园上的Z变换(DTFT))得到周期性连续的频率函数。 离散傅里叶变换(DFT):离散时间, 离散频率的傅里叶

变换。

上面讨论的前三种傅里叶变换对,都不适用在

计算机上运算, 因为至少在一个域( 时域或频 域)中, 函数是连续的。因为从数字计算角度 我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况, 这就是第四种离散傅里叶变换。

离散傅里叶级数(DFS) 设

x(n) 为周期为N的周期序列, 则其离散傅里叶级数

(DFS) 变换对为: 正变换

(k ) DFS[ x(n)] x(n)e X n 0

N 1

j

2 nk N

nk x(n)WN n 0

N 1

逆变换2 N 1 j nk 1 N 1 x(n) IDFS[ (k )] X (k )e N (k )WN nk X X N n 0 k 0

其中

WN e

j

2 N

利用MATLAB实现傅立叶级数计算 编写函数实现DFS计算

function xk=dfs(xn,N)

n=[0:1:N-1]; k=n; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n’*k; WNnk=WN.^nk; xk=xn* WNnk;

例：xn=[0,1,2,3],N=4 xn=[0,1,2,3]; N=4; xk=dfs(xn,N)’

逆运算IDFS function xn=idfs(xk,N)

n=[0:1:N-1];k=n;

WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n’*k;

WNnk=WN.^(-nk);xn=xk*WNnk/N;

离散傅立叶变换的正、逆变换定义为：X (k ) DFT [ x(n)] x(n)en 0N 1

N 1

j

2 nk N

1 x(n) IDFT [ x(k )] X (k )e N k 0

j

2 kn N

比较正、逆变换的定义式可以看出，只要把DFT公式中

的系数

,

并最后乘以1/N,那么， e e DFT的计算程序就可以用来计算IDFT。 j

2 nk N

改为

j

2 nk N

例：已知序列 x(n) cos(0.48 n) cos(0.52 n), (0 n 100) 试绘制序列及其傅立叶变换幅度谱 N=100;

n=0:N-1; xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); xk=dft(xn,N); magxk=abs(xk); subplot(2,1,1)

plot(n,xn) subplot(2,1,2) k=0:length(magxk)-1;

plot(k,magxk)

DFT的应用 DFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分

析、通讯理论方面有广泛的应用。

DFT的特性 周期性 对称性 线性 时移 频移 共轭 折叠 实序列的对称性 卷积

利用MATLAB对DFT的特性进行验证 例： (n) (0.9exp( j / 3))n , 0 n 10 x

分析：因为x(n)是复指数，它满足周期性，我

们将在两个周期中的401个频点上作计算来观

察其周期性。

n=0:10; x=(0.9*exp(j*pi/3)).^n; k=-200:200; w=(pi/100)*k; X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k); magX=abs(X); angX=angle(X); subplot(2,1,1);

plot(w/pi,magX); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi);