2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2学业分层测评：第二章 推理

学业分层测评(十六)

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、填空题

1.(2016·西安高二检测)△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的假设为________.

【答案】∠BAP≥∠CAP

2.(2016·无锡高二期末)用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“在一个三角形的三个内角中，________个锐角.”

【解析】“至少有两个”的否定是“至多有一个”.

【答案】至多有一个

3.(2014·山东高考改编)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax ＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________.

【解析】因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.

【答案】方程x3＋ax＋b＝0没有实根

4.命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________.

【导学号：01580049】【解析】“a＝b＝1”是“a＝1且b＝1”，

又因“p且q”的否定为“綈p或綈q”，

所以“a＝b＝1”的否定为“a≠1或b≠1”.

【答案】a≠1或b≠1

5.若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程

1

2 有实根，则实数a 的取值范围是______________.

【解析】 若两个方程均无实根，则

????? Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝4a 2＋8a <0，解得??? a >13或a <－1，－2<a <0.

∴－2<a <－1.

因此两方程至少有一个有实根时，应有a ≤－2或a ≥－1.

【答案】 {a |a ≤－2或a ≥－1}

6.用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其反设为____________.

【解析】 “a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”，即a ，b 不全为0.

【答案】 a ，b 不全为0

7.若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：

①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；

②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；

③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立.

其中正确的是________(填序号).

【解析】 因为a ，b ，c 不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可以同时成立，所以③错.

【答案】 ①②

8.完成反证法证题的全过程.

题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数.

证明：假设p 为奇数，则__________均为奇数.①

因7个奇数之和为奇数，故有

(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为__________.②

3 而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)

＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝__________.③ ②与③矛盾，故p 为偶数.

【解析】 由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数， 故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)

＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数， 这与0为偶数矛盾.

【答案】 ①a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 ②奇数 ③0

二、解答题

9.已知x ，y ，z 均大于零，求证：x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 这三个数中至少有一个

不小于4.

【证明】 假设x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 都小于4，

即x ＋4y <4，y ＋4z <4，z ＋4x <4，

于是得? ????x ＋4y ＋? ????y ＋4z ＋? ??

??z ＋4x <12， 而? ????x ＋4y ＋? ????y ＋4z ＋? ????z ＋4x ＝? ????x ＋4x ＋? ????y ＋4y ＋? ????z ＋4z ≥2 x ·4x ＋2 y ·4y ＋

2 z ·4z ＝12，

这与? ????x ＋4y ＋? ????y ＋4z ＋? ??

??z ＋4x <12矛盾， 因此假设错误，即x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 中至少有一个不小于4.

10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.

(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；

(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数

列.