2015年高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点教案 新人教版必修1

3.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）

教学目标：

知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

过程与方法：零点存在性的判定．

情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值． 教学重点：

重点：零点的概念及存在性的判定． 难点：零点的确定． 一、复习回顾，新课导入

讨论：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根与二次函数y ax2 bx c(a 0)数的图象有什么关系？ 先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．

方程x 2x 3 0与函数y x2 2x 3； 方程x 2x 1 0与函数y x2 2x 1； 方程x 2x 3 0与函数y x2 2x 3；

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再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．

一元二次方程ax bx c 0(a 0)有两不同根就是相应的二次函数y ax bx c 0的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；

一元二次方程ax bx c 0(a 0)有两个重根就是相应的二次函数y ax bx c 0的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；

一元二次方程ax bx c 0(a 0)无实数根就是相应的二次函数y ax bx c 0的图象与x轴没有交点；

总之，一元二次方程ax bx c 0(a 0)的根就是相应的二次函数y ax bx c 0的图象与x轴的交点的横坐标． 二、师生互动，新课讲解： 1、函数的零点

对于函数y f(x)，我们把使f(x) 0的实数x叫做函数y f(x)的零点（zero point）．

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显然，函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0的实数根，也就是函数y f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

方程f(x) 0有实数根 函数y f(x)的图象与x轴有交点 函数y f(x)有零点．

2、函数零点的判定：

研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。

问题1： 如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图，第一组第一行两图，第二组第二行两图），哪

一组能说明他的行程一定曾渡过河？

第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。

问题2：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？

A、B两点在x轴的两侧。

问题3： A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？ A、B两点在x轴的两侧。可以用f（a）·f（b）<0来表示。

问题4： 满足条件的函数图象与x轴的交点一定在（a，b）内吗？即函数的零点一定在（a，b）内吗？ 一定在区间（a，b）上。若交点不在（a，b）上，则它不是函数图象。

通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：

一般地，我们有：

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

⑴函数零点的意义：

函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0实数根，亦即函数y f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 即：方程f(x) 0有实数根 函数y f(x)的图象与x轴有交点 函数y f(x)有零点． ⑵函数零点的求法：求函数y f(x)的零点： ①（代数法）求方程f(x) 0的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

⑶二次函数的零点：y ax2 bx c(a 0)．

① △＞０，方程ax bx c 0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

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② △＝０，方程ax bx c 0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

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③ △＜０，方程ax bx c 0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 课堂练习：（课本P88练习 NO：1）

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例1： 观察下表，分析函数f(x) 3x 6x 1在定义域内是否存在零点？

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分析：函数图象是连续不断的，又因为，所以在区间（0，1）上必存在零点。

我们也可以通过计算机作图（如图）帮助了解零点大致的情况。

变式训练1：

（1）已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？为什么？

（2）函数f(x)=(x+4)(x-4)(x+2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？

(3)观察下面函数y f(x)的图象

1 在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞）． ○

2 在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（＜或＞）． ○

3 在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞） ○

例2（课本P88例1）： 求函数f(x) lnx 2x 6的零点个数．

分析：用计算器或计算机作出x，的对应值表和图象。

由表可知，f (2)<0，f (3)>0,则单调性，进而说明

零点是只有唯一一个．

，这说明函数在区间（2，3）内有零点。结合函数的

变式训练2：利用函数图象判断下列方程有几个根 （1）2x(x-2)=-3 （2）e x 0

例3：已知函数f(x) x 3x 1，问该函数在区间( 2, 1)内是否有零点？

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解：因为f( 2) 1 0，f( 1) 3 0，所以f( 2) f( 1) 0，又函数f(x) x 3x 1是连续的曲线，

3

x

所以f(x)在区间( 2, 1)内有零点． 变式训练3：函数f(x) lnx

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的零点所在的大致区间是（ B ） x

（A）(1,2) (B) (2,3) (C) (e,3) (D) (e, )

三、课堂小结，巩固反思：

如果函数y f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数y f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x) 0在区间(a,b)内至少有一个实数解．

会用代数法或几何法（特别转化为两条曲线的交点）来判断零点的个数。 四、布置作业： A组：

1． （课本P92习题3.1 A组 NO：2） 2． 求下列函数的零点：

（1）y x2 5x 4；（2）y x2 x 20；（3）y (x 1)(x2 3x 1)； （4）f(x) (x2 2)(x2 3x 2)．

3． 求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小

于零： （1）y

122x 2x 1；（2）y 2x 4x 1． 3

4． 已知f(x) 2(m 1)x2 4mx 2m 1：

（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；

（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值． 5． 求下列函数的定义域： （1）y

（2）y x2 3x 4；（3）y x2 4x 12 x2 9；

6．设函数f(x) lnx x 1．求函数f(x)的零点个数。 B组：

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1、函数f(x)＝x＋的零点个数为( A )

x

A．0 B．1 C．2 D．3

2．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )

A．若f(a)f(b)<0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

B．若f(a)f(b)&l …… 此处隐藏：2098字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……