4.4同济大学线性代数第四版 课件

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§4.4

非齐次线性方程组线

设非齐次线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 L am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm

(4.8)

性 代 数

x1 b1 矩阵形式 : Ax = b, 其中A = (aij ) m×n , x = M , b = M xn bm 向量形式 : x1α1 + x2α 2 + L + xnα n = b (4.9) 其中, α j = (a1 j , a2 j ,L , amj )T , j = 1, 2,L , n 即 A = [α1 α 2 L α n ]

= =

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为了叙述上的方便, 我们称 a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a x + a x +L + a x = 0 21 1 22 2 2n n 线 (4.10) L am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0 性 齐次线性方程组, 为(4.8)对应的齐次线性方程组,也称(4.10)为(4.8)的导出组. 我们知道齐次线性方程组必定有解，因为它至少有零解； 我们知道齐次线性方程组必定有解，因为它至少有零解； 代 然而非齐次线性方程组就未必有解。 然而非齐次线性方程组就未必有解。例如非齐次线性方程组

x1 + x2 + 3 x3 = 1 2 x1 + 2 x2 + 6 x3 = 4

数

就是无解的，那么，非齐次线性方程组在什么条件下由解呢？ 就是无解的，那么，非齐次线性方程组在什么条件下由解呢？

由 知方程组(4.8)有解 b能由A (4.9) , 的列向量线性表示 = 向量组α1,α2,L,αn与向量组α1,α2,L,αn , b等价 r(α1,α2,L,αn )=r(α1,α2,L,αn , b) r(A| b) = r(A)

=

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定理 3

(1) Ax = b有解(或相容);

对于非齐次线性方程组Ax=b,下列四个条件等价： 下列四个条件等价： 对于非齐次线性方程组 下列四个条件等价 线 性 代 数

(2) b可以由A的列向量组α1 , α 2 ,L , α n线性表示; (3) 向量组α1 , α 2 ,L ,α n与向量组α1 , α 2 ,L , α n , b等价; (4) 增广矩阵(A|b)的秩等于系数矩阵A的秩. 例如,对于方程组 x1 + x2 + 3 x3 = 1 2 x1 + 2 x2 + 6 x3 = 4

1 1 3 1 由于增广矩阵(A|b)= , 且r ( A | b) = 2, = 2 2 6 4 而r ( A) = 1, 所以,该方程组无解. =

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当非齐次线性方程组 Ax = b有解时, 如何求解呢?这就需 要搞清楚 Ax = b解的结构.为此, 先讨论 Ax = b的解的性质 : 性 质 3 : 若 η1 ,η 2都是 Ax = b的解, 则 η1 η 2是对应的齐次线 方程组 Ax = 0的解 证 : A(η1 η 2 ) = Aη1 Aη 2 = b b = 0 性 质 4 : 若 η是 Ax = b的一个解, ξ 是对应的齐次线性方程 组 Ax = 0的一个解, 则 η + ξ 是 Ax = b的一个解. 证 : A(η + ξ ) = Aη + Aξ = b + 0 = b 性 质 5 : Ax = b的 任一个解 η都可表示成 的某个解. 证 :由于 η = η 0 + (η η 0 ), 记 ξ = η η 0 ,由性质3可知性 代 数 线

η =η 0 +ξ ,

其中 η 0是 Ax = b某个解, ξ 是对应齐次线性方程组 Ax = 0

= =

ξ 是导出组 Ax = 0的解, 则 η = ξ + η0

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定理4 定理4 (非齐次线性方程组解的结构定理)设η 为Ax = b*

的一个特

解(即不含任意常数的确定解), 则Ax = b的任一 解x可以表示为 其中ξ为Ax = 0的一个解. 由解的结构定理可见, 当r ( A) = r ( A) = r < n时, 有 Ax = b的通解 = Ax = b的一个特解 + Ax = 0的通解 即Ax = b的通解为 : x = η + ∑ ciξi ,* i =1 * n r

x = η +ξ*

线 性 代 数

c1 , c2 ,L cn r为任意常数.

= =

其中 : η 为Ax = b的一个特解, ξ1 , ξ 2 ,L , ξ n r为 Ax = 0的基础解系.

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例1 : 求方程组 x1 1 1 1 2 3 2 1 0 3 x2 = 1 的通解 x 2 0 2 10 3 4 x 4 1 1 1 2 3 解 : A = A b = 2 1 0 3 1 2 0 2 10 4 1 1 1 2 3 1 0 1 5 2 → 0 1 2 7 5 → 0 1 2 7 5 0 2 4 14 10 0 0 0 0 0 用自由未知量表示的通解 : x1 = 2 x3 + 5 x4 x2 = 5 + 2 x3 7 x4 ( x3 , x4任意) (1)线 性 代 数

= =

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以下求结构式通解有两种方法 :

x1 2 c1 + 5c2 2 1 5 x 5 + 2c 7c 5 2 7 2 1 2 方法1: 把上述通解写成向量形式 x = = = + c1 + c2 x3 0 1 0 c1 x4 c2 0 0 1 此即结构式通解 2 5 方法2 : 在通解(1)中令x3 = x4 = 0, 得特解η * = 0 0 1 5 2 7 x1 = x3 + 5 x4 Ax = 0的基础解系 :ξ1 = , ξ 2 = , 1 0 x2 = 2 x3 7 x4 0 1 2 1 5 5 2 7 结构式通解x = η * + c1ξ1 + c2ξ 2 = + c1 + c2 0 1 0 0 0 1

线 性 代 数

= =

两种解法结果一样

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例2 解方程组

3x1 + x2 + x3 = 5 3x1 + 2x2 + 3x3 = 3 x + 2x = 2 2 3

线 性

解

5 3 1 1 5 代 3 1 1 5 3 1 1 A = 3 2 3 3 → 0 1 2 2 0 1 2 2 → 0 1 2 2 0 1 2 2 0 0 0 4 数

R( A) = 2 ≠ R( A) = 3,

无解

= =

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例3 : 求解方程组Ax = b, 其中方程组的增广矩阵为 1 0 A = A b = 2 3 1 0 解: A → 0 0 1 1 1 2 1 1 1 1 3 a+2 4 b + 3 5 1 a +8 5 1 1 1 1 1 2 1 0 → a 2 b + 1 0 2 a + 5 2 0 1 1 1 2线 性

1 1 1 2 1 0 a +1 0 b 0 0 a + 1 0 1 1 1

代 数

(1)当a ≠ 1, r ( A) = r ( A) = 4(未知量个数), 有唯一解, 为求解, 将 A进一步化为简化行

阶梯型 :

= =

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1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 0 1 A→ b → b 0 0 1 0 0 0 1 0 a + 1 a + 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2b b 1 1 0 0 1 a + 1 1 0 0 0 a + 1 b b 0 1 0 0 1 + 0 1 0 0 1 + → → a + 1 a + 1 b b 0 0 1 0 0 0 1 0 a +1 a +1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 唯一解为 2b a + b +1 b x1 = , x2 = , x3 = , x4 = 0 a +1 a +1 a +1 (2)当a = 1, 且b ≠ 0时, r ( A) = 2, r ( A) = 3, 方程组无解

线 性 代 数

= =

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(3)当a = 1, 且b = 0时, r ( A) = r ( A) = 2 < 4, 方程组有无穷多解 为求解, 进一步将 A化为简化行阶梯型 : 1 0 2 1 0 0 1 1 2 1 A→ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x1 = 2 x3 + x4 x 2 = 1 + x3 2 x 4 x1 0 2 1 x 1 1 2 结构解为 x = 2 = + c1 + c2 x3 0 0 1 x4 0 1 0 其中 c1 , c2为任意常数线 性 代 数

= =

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x1 + x2 = 1 互不等) 互不等 例4 判断方程组有无解 ax1 + bx2 = c (a, b , c互不等 线 a2 x + b2 x = c2 1 2

解

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