信号与系统课件 郑君里版 §6.2 信号矢量空间的基本概念

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§6.2 信号矢量空间的基本概念 线性空间 范数 内积 柯西-施瓦茨不等式北京邮电大学电子工程学院 2002.3

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一.线性空间定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成 此集合内的另一元素，任意元素与任意数(可以是实 数也可以是复数)相乘后得到此集合内的另一元素。 例:N维实数空间 RN

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N维复数空间 CN连续时间信号空间 L

离散时间信号空间

l

X

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二.范数线性空间中元素 x的范数以符号 x 表示，满足以下公理

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(1) (2) (3)

正定性 正齐性

x 0,当且仅当x = 0时 x = 0; 对所有数量 ,有 x = x ; x+ y x + y 。

三角形不等式N N

1 令p为实数， p  N与C N空间元素x = (x1, x2,L, x N) ,在R 的p阶范数定义为p N p  i x x pdef i=1 max x i 1 i N 1

对于1 p 对于p X

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第

常用范数x 1 = 1+1 = 2

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xx

2 

= 1+1 = 2= max(1,1)= 1

在二维或三维实数矢量 空间中，二阶范数的物 理意义是

矢量的长度。x 2也称为欧氏(Euclidean)范数或欧氏距。 2.连续时间信号空间 L和离散时间信号空间 l中的范数

(1)连续时间信号空间xp

L中，元素 x的p阶范数 x p定义如下p 1 p

 x + (t) dt  = sup x(t)

1 p < 

p=X

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(2)离散时间信号空间 l中,元素x(n)的p阶范数x   x(n) = n= sup x(n)

x p的定义

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(

)

1 pp

1 p< p=

p

这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 信号，sup表示其幅度值。(3)常用的范数 一阶范数x1

= + x(t)dt n=



L空间l空间X

x1=

(n) x



可见，一阶范数表示信号作用的强度

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二阶范数2 2 1

1 2  2 2 2 n= 2

n=

物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。L空间 x

=sup x(t)

l空间

x = sup x(n)

物理意义：对于定义在 闭区间上的 x(t), x  示信号 表 可测得的峰值，也即信 号的幅度。X

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三.内积直角坐标平面内两矢量相对位置关系cos( 1 2)=

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(xx

x1y1 + x2 y2 +x2 2

x22 2

x

2 1

1

) (y y +2 2 1 1

1

)

2

y2

利用范数符号，将矢量长度分别写作2

1

y

2x1 y1

= x1 2 + x2 2 22 1

于是

y

2

( =(y

+y

2 2

1

) )

2

x1y1 + x2 y2 = x 2 y 2 cos( 1 2) X

x1y1 + x2 y2对应于二维矢量空间的 内积(点积)运算

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x1y1 + x2 y2 = x

2

y 2 cos( 1 2)

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上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量 之间相对位置的“校准”情况。即cos( 1 2)= 0,两矢量之夹角为90o,标量乘积为零 cos( 1 2)= 1,两矢量夹角为0o,标量乘积取最大值

推广 三维多维

x1 y1 + x2 y2 + x3 y3x,y = i yi xN

N维实线性空间 N维复线性空间X

x,y =

i yi  xi=1

i=1 N

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信号空间L内的两连续信号的内积x,y =+ x(t)y(t) dt 



连续时间信号 离散时间信号

x,y = (n)y(n) xn Z



对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为x,x =+



x(t) dt = x 22 22

连续离散X

x,x =  (n) xn Z

= x

2 2

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四.柯西-施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式x,y2

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x,x y,y

X