全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案(3)

lnf an 1 lnf an 2

f'

f f' f an 1 an 2 ，又 an an 1

f'

f an 1 an 2 f、 m f得 m

an an 1 man 1 an 2 ... mn 1a1 a0 0 m 1 级数 mn 1a1 a0

n 1 收敛， 级数 an 1 n an 1收敛，即 an 1 n an 1 绝

对收敛。

七（．本题15分）是否存在区间满足f 0 f 2 1， 0,2 上的连续可微函数f(x)，

f、 x 1, 0f x dx2 1？请说明理由。

解：假设存在，当x 0,1 时，由拉格朗日中值定理得：

1介于0，x之间，使得f x f 0 f' 1 x,，

同理，当x 1,2 时，由拉格朗日中值定理得：

2介于x，2之间，使得f x f 2 f' 2 x 2

即f x 1 f' 1 x,x 0,1 ;f x 1 f' 2 x 2 ,x 1,2 1 f、 x 1，