全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

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前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分）

y(x y)ln(1 )xdy 16/15，其中区域D由直线x y 1与两坐标轴1．计算 D x y

所围成三角形区域.

01 dxdy det解: 令x y u,x v，则x v,y u v， 1 1 dudv dudv，

y(x y)ln(1 )ulnu ulnvxdy D x y D uudv

uulnuuu (dv lnvdv)du0 u 0 u 0

21ulnuu(ulnu u) du0 u u1

令t u，则u 1 t2 10u2du （*） u

du 2tdt，u2 1 2t2 t4，u(1 u) t2(1 t)(1 t)，

(*) 2 (1 2t2 t4)dt10

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2 1

016 2315 (1 2t t)dt 2 t t t 5 015 3241

2．设f(x)是连续函数，且满足f(x) 3x2

解: 令A 20f(x)dx 2, 则f(x) ____________. 2

0f(x)dx，则f(x) 3x2 A 2，

A 2

0(3x2 A 2)dx 8 2(A 2) 4 2A, 410。因此f(x) 3x2 。 33解得A

x2

y2 2平行平面2x 2y z 0的切平面方程是__________. 3．曲面z 2

x2

y2 2在解: 因平面2x 2y z 0的法向量为(2,2, 1)，而曲面z 2

(x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0), 1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0), 1)与(2,2, 1)平行，因此，由zx x，zy 2y知2 zx(x0,y0) x0,2 zy(x0,y0) 2y0，

即x0 2,y0 1，又z(x0,y0) z(2,1) 5，于是曲面2x 2y z 0在(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x 2) 2(y 1) (z 5) 0，即曲面

x2

z y2 2平行平面 2

2x 2y z 0的切平面方程是2x 2y z 1 0。

4．设函数y y(x)由方程xef(y) eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f 1，则d2y ________________. 2dx

解: 方程xef(y) eyln29的两边对x求导，得

ef(y) xf (y)y ef(y) eyy ln29

因eyln29 xef(y)，故11，因此 f (y)y y ，即y x(1 f(y))x

d2y1f (y)y y dx2x2(1 f (y))x[1 f (y)]2

f (y)1f (y) [1 f (y)]2

2 2 323 x[1 f(y)]x(1 f(y))x[1 f(y)]

ex e2x enx

x二、（5分）求极限lim()，其中n是给定的正整数. x 0n

解 :因 e

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ex e2x enx

xex e2x enx nxlim() lim(1 ) x 0x 0nn

故 ee

ex e2x enx neA limx 0nx x2xnxe e e n elimx 0nx

ex 2e2x nenx1 2 nn 1 elim e e x 0nn2

因此

ex e2x enx

xlim() eA ex 0n

三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)

并讨论g (x)在x 0处的连续性.

解 : 由lim

因g(x) en 1e2 10且limf(xt)dt，x 0f(x)求g (x) A，A为常数，xx 0f(x)f(x) A和函数f(x)连续知，f(0) limf(x) limxlim 0 x 0x 0x 0xx1 0f(xt)dt，故g(0) f(0)dt f(0) 0， 01

1x因此，当x 0时，g(x) f(u)du，故 x0

limg(x) limx 0x 0x0f(u)dux limx 0f(x) f(0) 0 1

当x 0时，

f(x)， 0x

x1xf(t)dtf(t)dt 0 g(x) g(0)f(x)A0 lim g (0) lim lim lim2x 0x 0x 0x 02x2xxx

1xf(x)f(x)1xAAlimg (x) lim[ 2 f(u)du ] lim lim2 f(u)du A 0x 0x 0x 0x 0xx0xx22

这表明g (x)在x 0处连续. g (x) x1x2f(u)du

四、（15分）已知平面区域D {(x,y)|0 x ,0 y }，L为D的正向边界，试证：

（1）xe

LLsinydy ye sinxdx xe sinydy yesinxdx； L（2）xesinydy ye sinydx 2.

证 :因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知 52

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（1）xe

Lsiny dy ye sinxdx (xesiny) ( ye sinx) dxdy x y D

(esiny e sinx)dxdy

D

sinysinxxedy yedx L

(xe siny) ( yesinx) dxdy x y D

(e siny esinx)dxdy

D

而D关于x和y是对称的，即知

siny sinx sinysinx(e e)dxdy (e e)dxdy DD

因此

siny sinx sinysinxxedy yedx xedy yedx LL

（2）因

t2t4

e e 2(1 ) 2(1 t2) 2!4!t t

故

esinx e sinx 2 sin2x 2

由 1 cos2x5 cos2x 22

xe

Lsinydy ye sinydx (esiny e sinx)dxdy (e siny esinx)dxdy DD

知

siny sinyxedy yedx L11siny sinx sinysinx(e e)dxdy (e e)dxdy 2D2D

11siny siny sinxsinx sinxsinx(e e)dxdy (e e)dxdy (e e)dxdy 2D2DD

5 cos2x5dx 2 0022

5siny siny即 xedy yedx 2 2L (e sinx esinx)dx

五、（10分）已知y1 xe e，y2 xe e

解 设y1 xe e，y2 xe e

次微分方程 x2xx xx2xx xx2x x，y3 xe e e是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. x2x x，y3 xe e e是二阶常系数线性非齐

y by cy f(x)

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的三个解，则y2 y1 e x e2x和y3 y1 e x都是二阶常系数线性齐次微分方程

y by cy 0

的解，因此y by cy 0的特征多项式是( 2)( 1) 0，而y by cy 0的特征多项式是

2 b c 0

y1 2y1 f(x)和 因此二阶常系数线性齐次微分方程为y y 2y 0，由y1

ex xex 2e2x，y1 2ex xex 4e2x y1

y1 2y1 xe 2e 4e知，f(x) y1

(1 2x)ex

二阶常系数线性非齐次微分方程为 xx2x (xex ex 2e2x) 2(xex e2x)

y y 2y ex 2xex

六、（10分）设抛物线y ax bx 2lnc过原点.当0 x 1时,y 0,又已知该抛物线与x轴及直线x 1所围图形的面积为

转体的体积最小.

解 因抛物线y ax bx 2lnc过原点，故c 1，于是

11b ab a (ax2 bx)dt x3 x2 302 032 31221.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋3

即

b 2(1 a) 3

11而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积 V(a) (ax2 bx)2dt (ax2 00

2142(1 a)x)2dt 3114432 a xdt a(1 a) xdt (1 a) x2dt 00039

114 a2 a(1 a) (1 a)2 5327

即

114V(a) a2 a(1 a) (1 a)2 5327

令

V (a)

得 218 a (1 2a) (1 a) 0， 5327

54a 45 90a 40 40a 0

即

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4a 5 0

因此

35a ,b ,c 1. 24

(x) un(x) xn 1ex(n 1,2, ), 且un(1) 七、（15分）已知un(x)满足un

级数e, 求函数项n u

n 1 n(x)之和.

解

(x) un(x) xn 1ex， un

即

y y xn 1ex

由一阶线性非齐次微分方程公式知

y ex(C xn 1dx)

即

xn

y e(C ) nx

因此

xn

un(x) e(C ) n

e1由 un(1) e(C )知，C 0， nnx

于是

xnex

un(x) n