2019最新高中数学 第三章 3.2.1 几类不同增长的函数模型学案 新

2019最新高中数学 第一章阶段复习课 第1课 计数原理学案 新人教A版选修

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3.2.1 几类不同增长的函数模型

学习目标：1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

三种函数模型的性质

[基础自测]

1．思考辨析

(1)函数y ＝x 2

比y ＝2x

增长的速度更快些．( )

(2)当a >1，n >0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x ，总有log a x <x n <a x

成立．( ) (3)函数y ＝log 1

2x 衰减的速度越来越慢．( )

[答案] (1)× (2)× (3)√

2．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝e x

B ．y ＝ln x

C ．y ＝x 2

D ．y ＝e －x

A [结合指数函数，对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A 正确．] 3．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t (年)的函数关系如图3­2­1所示．

图3­2­1

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________.

【导学号：37102371】

②④ [结合图象可知②④正确，故填②④.]

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[合 作 探 究·攻 重 难

]

几类函数模型的增长差异

(1)下列函数中，增长速度最快的是( )

A ．y ＝2 018x

B ．y ＝x 2 018

C ．y ＝log 2 018x

D ．y ＝2 018x

(2)下面对函数f (x )＝log 12

x ，g (x )＝? ????12x 与h (x )＝x －12在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )

A ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢

B ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快

C ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越慢

D ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快

(1)A (2)C [(1)指数函数y ＝a x

，在a >1时呈爆炸式增长，并且随a 值的增大，增长速度越快，应选

A.

(2)观察函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝? ????12x

与h (x )＝x －12在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知： 函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．] 线性函数模型线性函数模型k

的增长特点是直线上升，其增长速度不变 指数函数模型指数函数模型x a 的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增

长速度急剧，形象地称为“指数爆炸

对数函数模型

对数函数模型log x a

的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓

幂函数模型

幂函数y ＝n n 的增长速度介于指数增长和对数增长之间

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[跟踪训练]

1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：

【导学号：37102372】y2[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]

指数函数、对数函数与幂函数模型的比较

函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.

(1)请指出图3­2­2中曲线C1，C2分别对应的函数；

图3­2­2

(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小．

[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.

(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，

∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，

∴x1＜6＜x2,2 016＞x2.

从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，

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- 4 - ∴f (6)＜g (6)；

当x ＞x 2时，f (x )＞g (x )，

∴f (2 016)＞g (2 016)．

又g (2 016)＞g (6)，

∴f (2 016)＞g (2 016)＞g (6)＞f (6)．

[跟踪训练]

2．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图3­2­3所示．

图3­2­3

(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；

(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较).

【导学号：37102373】

[解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .

(2)当x <x 1时，g (x )>f (x )；当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )；当x >x 2时，g (x )>

f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝

g (

x )．

需选择函数模型的实际问题

[探究问题]

1．一次函数模型、指数函数模型、对数函数模型的增长速度各有什么特点？

提示：一次函数模型的增长速度不变，是均匀的；指数函数模型的增长速度最快，呈爆炸式；对数函数模型的增长速度先快后慢．

2．在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？

提示：前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．

(1)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用

( )

A ．一次函数

B ．二次函数

C ．指数型函数

D ．对数型函数

(2)某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37

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- 5 - 万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份为x ，产量为y 给出三种函数模型：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝ab x ＋c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？

思路探究：结合函数模型的增长速度选择合适的模型求解．

(1)D [结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选D.]

(2)由 …… 此处隐藏：4408字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……