第十六讲 圆锥曲线热点问题

第16讲 圆锥曲线热点问题

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第16讲 │ 主干知识整合1.曲线的方程的求法 直接法 定义法 代入法 参数法 交轨法 把动点坐标直接代入已知几何条件的方法 已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的 方法(待定系数法) 动点P(x,y)随动点Q(x0,y0)运动，Q在曲线C:f(x, y)=0上，以x,y表示x0,y0,代入曲线C的方程得到 动点轨迹方程的方法 把动点坐标(x,y)用参数t进行表达的方法.此时x= φ(t),y=ψ(t),消掉t即得动点轨迹方程 轨迹是由两动直线(或曲线)交点构成的，在两动直线 (或曲线)中消掉参数即得轨迹方程的方法

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第16讲│ 要点热点探究要点热点探究 探究点一 与圆锥曲线有关的轨迹问题 例1 已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1:x- y-2 2=0相切. (1)求圆的标准方程； → (2)设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N,若动点Q满足 OQ → → =mOA +(1-m)ON (其中m为非零常数),试求动点Q的轨迹方 程C2.

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[思考流程] (1)(条件)圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与 直线l1:x-y-2 2 =0相切 (目标)圆的标准方程 (方法) 求出圆的半径，圆心到切线的距离即是圆的半径； → → → (2)(条件)动点Q满足OQ =mOA +(1-m)ON (目标)动点 Q的轨迹方程 (方法)建立动点Q的坐标和已知圆上点的坐标 关系，代入法求动点Q的轨迹方程.

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与圆锥曲线有关的轨迹问题 |-2 2| 解：(1)设圆心到直线 l1 距离为 d,则 d= 2 2=2, 1 +1 圆 C1 的方程为 x2+y2=4.(5 分) (2)设动点 Q(x,y),A(x0,y0),AN⊥x 轴于 N,N(x0,0). (6 分)

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x=x0, 由题意，(x,y)=m(x0,y0)+(1-m)(x0,0),所以 y=my0,

x0=x, 即 (9 分) 1 y0=my, 1 将 A x,my, 代入 x2+y2=4, 2 x y2 得 C2 的方程 + 2=1.(12 分) 4 4m

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[规范评析] 本题从求曲线方程开始逐步考查解析几何的 重要知识和方法.第一问中的轨迹方程可看作是定义法或者 待定系数法，即只要求出圆的方程中的系数即可；第二问中 方法是代入法(相关动点法)求轨迹方程，这都是求轨迹方程的 基本方法.(求轨迹方程的直接法见下面的例2及其变式)

第16讲│ 要点热点探究 探究点二 与圆锥曲线有关的定点、定值问题 例2 [2012· 湖南卷] 在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在 圆C2:(x-5)2+y2=9外，且对C1上任意一点M,M到直线x=-2 的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. (1)求曲线C1的方程； (2)设P(x0,y0)(y0≠± 3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条

切 线，分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明：当P在直线x=- 4上运动时，四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.

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[思考流程] (1)(条件)曲线C1上的点到定点和定直线距 离关系 (目标)曲线C1的方程 (方法)建立定点坐标的方 程，化简整理即得曲线C1的方程； (2)(条件)已知两圆的方程，点P在定直线上运动 (目 标)A,B,C,D的纵坐标之积为定值 (方法)设P(-4, y0),两切线斜率k1,k2,则k1,k2满足同一个方程，把直线 方程代入曲线C1方程可用y0,k1,k2表示四点的纵坐标之 积，根据上面得到的方程使用根与系数的关系整体代入得 出与y0,k1,k2无关的常数.

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与圆锥曲线有关的定点、定值问题 解：(1)方法1:设M的坐标为(x,y),由已知得 |x+2|= x-5 2+y2-3, 易知圆C2上的点位于直线x=-2的右侧， 于是x+2>0,所以 x-5 2+y2=x+5. 化简得曲线C1的方程为y2=20x.(4分) 方法2:由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0) 的距离等于它到直线x=-5的距离，因此，曲线C1是以(5,0) 为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，故其方程为y2= 20x.(4分)

第16讲│ 要点热点探究(2)证明：当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为(-4, y0),又y0≠± 3,则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y-y0=k(x+ 4),即kx-y+y0+4k=0.(5分) |5k+y0+4k| 于是 =3.整理得 2 k +1 72k2+18y0k+y2-9=0. ①(6分) 0 设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为k1,k2,则k1, k2是方程①的两个实根，故 18y0 y0 k1+k2=- =- . ②(7分) 72 4 k1x-y+y0+4k1=0, 由 2 得k1y2-20y+20(y0+4k1)=0. y =20x, ③(8分)

第16讲│ 要点热点探究设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1,y2,y3,y4,则 y1, y2 是方程③的两个实根，所以 20 y0+4k1 y1·2= y . ④(9 分) k1 20 y0+4k2 同理可得 y3·4= y . ⑤(10 分) k2 于是由②,④,⑤三式得 400 y0+4k1 y0+4k2 y1y2y3y4= k1k2 400[y2+4 k1+k2 y0+16k1k2] 0 = k1k2 2 400[y2-y0+16k1k2] 0 = =6 400.(11 分) k1k2 所以，当 P 在直线 x=-4 上运动时，四点 A,B,C,D 的 纵坐标之积为定值 6 400.(12 分)

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[规范评析] 本题第一问是求轨迹方程，既可以使用直接 法、也可以通过平移直线x=-2把问题归结为抛物线的定义 求解.第二问的定值问题体现的最根本的特点是“设而不 求、整体代入”的方法在解析几何中的应用，其中A,B, C,D四点的纵坐标、两条切线的斜率都不是直接求出，而是 把它们放在一个一元二次方程中从整体上使用四个点的

纵坐 标和两条切线的斜率，这个题目颇有新意，值得认真体 会.定值问题就是证明在运动变化中某些量不变，也就是与 参数无关，定点问题的思路与其类似，看下面变式.

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在平面直角坐标系中，点P(x,y)为动点，已知点 1 A( 2,0),B(- 2,0),直线PA与PB的斜率之积为- . 2 (1)求动点P轨迹E的方程； (2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点，设点N关于x轴 的对称点为Q(M,Q不重合),求证：直线MQ过定点.

变式题