高考抛物线考试结论大全

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抛物线

（1）抛物线——二次曲线的和谐线

椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.

【例1】P为抛物线

y2 2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）

p ，准线是

,0 2

A.相交 B.相切 C.相离 D.位置由P确定

【解析】如图，抛物线的焦点为F

p

.作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么PF PH， 2

p

且QH OF .作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的

2111

PH PF.故以 中位线，MN OF PQ

222l:x

PF为直径的圆与y轴相切，选B.

【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.

（2）焦点弦——常考常新的亮点弦

有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 【例2】 过抛物线

y2 2px p 0 的焦点F作直线交抛物线于A x1,y1 ,B x2,y2 两点，求证：

112 AFBFp

p， 2

（1）

AB x1 x2 p （2）

【证明】（1）如图设抛物线的准线为l，作

AA1 lA1,BB1 l于B1，则AF AA1 x1 p

BF BB1 x2 .两式相加即得：

2

Y11

AB x1 x2 p

（2）当AB⊥x轴时，有

AF BF p，

112

成立； AFBFp

2

l

当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：

p

y k x .代入抛物线方程：

2

p22p 2222 k x 2px.化简得：kx p k 2 x k 0

42

2

1

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k2

∵方程（1）之二根为x，x，∴x x2 1

4

1

2

.

x1 x2 p111111

ppAFBFAA1BB1x x x1x2 x1 x2 12

2224

x1 x2 px1 x2 p2

.

pppx x pp

x x

21242124

故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有

112

成立. AFBFp

（3）切线——抛物线与函数有缘

有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功. 【例3】证明：过抛物线

y2 2px上一点M（x，y）的切线方程是：yy=p（x+x）

【证明】对方程

p

y .切线的斜率 y2 2px两边取导数：2y y 2p，

y

k y

x x0

pp.由点斜式方程：y y0 x x0 y0y px px0 y02y0y0

1

2

y0 2px0，代入（）即得：1 yy=p（x+x）

（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏

抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获. 例如：1.一动圆的圆心在抛物线（ ）

y2 8x上，且动圆恒与直线x 2 0相切，则此动圆必过定点

A. 4,0 B. 2,0 y2 2px的通径长为2p；

C. 0,2 D. 0, 2

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线

3.设抛物线

y2 2px过焦点的弦两端分别为A x1,y1 ,B x2,y2 ，那么：y1y2 p2

y2 2px的焦点弦AB在其准线上的射影是AB，证明：以AB为直径的圆必过一定点

11

11

以下再举一例 【例4】设抛物线

【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.

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【证明】如图设焦点两端分别为那么：y1y2

A x1,y1 ,B x2,y2 ，

2

p2 CA CB yy p. 1112

设抛物线的准线交x轴于C，那么

2

CF p.

A1FB1中CF CA1 CB1.故 A1FB1 90 .

这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.

● 通法 特法 妙法

（1）解析法——为对称问题解困排难

解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（ ）

A.3 B.4 C.3

B

X

为

：

2 D.42

【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段 AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.

【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程

y x

. 由

lÿx+y=0

y x m2 x x m 3 0 2

y x 3

设方程（1）之两根为x1，x2，则x1 x2

1

1.

设AB的中点为M（x0，y0），则x0

x1 x21111

.代入x+y=0：y=.故有M 2,2 .

222

从而m y x 1.直线AB的方程为：y x 1.方程（1）成为：x2 x 2 0.解得：

，B（1，2）

. AB ，选C. x 2,1，从而y 1,2，故得：A（-2，-1）

（2）几何法——为解析法添彩扬威

虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.

【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线y方的部分相交于点

2

4x的焦点为F，准线为l，经过F

x轴上

YA，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积（ ）

A．4 B

． C

．AFX=60°.

D．8

【解析】如图直线AF°

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△AFK为正三角形.设准线l交x轴于M，则FM p 2,

且∠KFM=60

°，∴

KF 4,S AKF

2

4 .选C. 4

【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的

面积用公式S

2

a计算. 4

（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.

（3）定义法——追本求真的简单一着

许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线

x2y2

C1:2 2 1(a 0，b 0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的线为l，焦点为

ab

F2；C1与C2的一个交点为M，则

A． 1

FFMF112

MF1MF2

等于（ ）

B．1 C．

1 2

D．

1 2

【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.

如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c，离心率为e，作

MH l于H，令

MF1 r1,MF2 r2.∵点M在抛物线上，

MFMF1r1

MH MF2 r2,故1 e，

MHMF2r2