1-2 全排列及其逆序数

逆序数

第二节 全排列及其逆序数 概念的引入

全排列及其逆序数 小结

逆序数

一、全排列及其逆序数,共有几种不 问题 把 n 个不同的元素排成一列 同的排法？ 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列(或排列).

n 个不同的元素的所有排列的总数，通常用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6.同理

Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.

逆序数

排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.

定义

在一个排列 i1 i2 it i s in 中，若数 it i s 则称这两个数组成一个逆序. 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4

例如

逆序

逆序

逆序数

定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.

排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列;

逆序数为偶数的排列称为偶排列.

用 t p1 p2 pn 表示排列p1 p2 pn的逆序数。

逆序数

计算排列逆序数的方法方法1 分别计算出排在1 ,2 , , n 1 , n 前面比它大的数 码之和即分别算出 1 ,2 , , n 1 , n 这 n个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.例如 排列32514 中，

0

0

1

3 2 5 1 41

逆序数为3

故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.

逆序数

方法2

分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.例1 求排列32514的逆序数. 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为

t 0 1 0 3 1 5.

逆序数

例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.

1 217986354解

2 1 7 9 8 6 3 5 4

0 10 0 1 3 4 4 5t 5 4 4 3 1 0 0 1 0

18此排列为偶排列.

逆序数

2 n n 1 n 2 321解

n 1 n n 1 n 2 321 n 2 t n 1 n 2 2 1

n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；

当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.

逆序数

三、小结1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.