数值计算方法试题及答案(4)

x

6

7!

x

8

9!

f

x

15

x

2

7 2!

(4)

9 4!

f

(4)

x

15

R

b a 5

2880n

4

f

12880 5n

4

0.5 10

5

，n 2，I S2

(5) (10分)

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0000 0.0000 1.9375 9.6875

x 2.0000,3.0000,5.0000

T

6 x1

14 x2

8 1.3333

x 20 2.0000 ，

3 TT

(6) (8分) AA x Ab， 6

若用Householder变换，则： 1.73205

A,b 0

0 1.73205 0 0

3.46410 0.36603 1.36603

1.52073 2.52073 4.61880

3.464101.41421

4.61880

2.82843 0.81650

最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T.

(7) (8分)

k1 f x0,y0 0.5，k2 f x1,y0 hk1 1. 2 0.2 0.5 0.5238095 y1 y0

h2

k1 k2 2 0.1 0.5 0.5238095

2.1071429

三. (12分) (1) 差分表：

p x 15 20 x 1 15 x 1 7 x 1 x 1 x 2

2

3

3

5 4x 3x 2x x

234

2

3

其他方法：设p x 15 20 x 1 15 x 1 x 1 ax b 令p 2 57，p' 2 72，求出a和b

(2) 取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：

A0 A1

2

11

2，2

A0 A1

13

3

A0

13，

A1

16

f(x)=x时，公式左右=1/4; f(x)=x时，公式左=1/5, 公式右=5/24 ∴ 公式的代数精度=2

u1 Av0

(3) ①

u2

0.9950u1 10

v 1 0.09950 1 (1) u,v 10.00u 110 , 12,

0.9941 0.1083

，

②

(1)

u2 10.05

v Av1 2

(2)

u21.095 u,v 10.108 , 121,

(2)

2

1 1

0.11 0.05

，

u3 Av2

③

u3 0.9940 10.05

v 3 0.1090 1.102 (3) u,v 10.110u32 , 132,

0.002 0.05

1

(2)

1

(3)

0.9940x1 0.1090

10.11 1∴，

(4) 局部截断误差=y ti 1 yi 1

y xi hy' xi

h

2

2

y'' xi Oh

3

2

y xi 0hy' xi 1hy' xi 1hy'' xi Oh 1 23

1 0 1 hy' xi 1 hy'' xi Oh

2

1

1 0

3

12，

令1 0 1 0，2

yi 1 yi

得

0

32，

1

h2

计算公式为

3fi fi 1

，i=0,1,2,…

4

5

( 局部截断误差=12

hy''' xi Oh

3

)

(5) 记h (b a)N,xi a ih,pi p xi ,qi q xi ,ri r xi ,

yi y xi ,i=0..N 1h

2

yi 1 2yi yi 1 pi

12h

yi 1 yi 1 qiyi ri

, i=1..N-1

hh 22

1 pi yi 1 2 hqiyi 1 pi yi 1 hri

22 即 , i=1..N-1 (1)

3y0 4y1 y2 0,与(1)取i=1的方程联立消去y得

2

2 2p1 y0

2 hq1 2hp1y1 hr1 (2)

2

2

yN 0，与(1)取i=N-1的方程联立消去y得

N

h 22

1 pN 2 yN 2 2 hqN 1yN 1 hrN 1

2 (3)

所求三对角方程组：方程(2)，方程组(1)(i=1..N-2)，方程(3)