数值计算方法试题及答案(2)

数，则需要对分 次。

2

x12 x2

f x

xx 12(3) (3) (2分)设

x 1

x (x 1)的形式，使计算结果较精确

，则f' x

2x3,0 x 1

S x 3

2

x ax bx c,(4) (4) (3分)设

1 x 2是3次样条函数，则

。 (5) (5) (3分)若用复化梯形公式计算

式估计，至少用 个求积节点。

10

edx

x

，要求误差不超过10

6

，利用余项公

x1 1.6x2 1

0.4x1 x2 2

(6) (6) (6分)写出求解方程组 的Gauss-Seidel迭代公式

，

此迭代法是否收敛 。

(7)

5A

4(7) (4分)设4

3 ,则A

Cond A 。

y 0 1，为保证算法的绝对

(8) (8) (2分)若用Euler法求解初值问题y' 10y,稳定，则步长h的取值范围为

二. (64分)

(1) (1) (6分)写出求方程4x cos x 1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证

明其收敛性。

(2) (2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用

余项估计误差。

(3) (3) (10分)求f x e在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。

x

I

(4) (4) (10分)用复化Simpson公式计算积分

差限为0.5 10

5

10

sin x x

dx

的近似值，要求误

。

(5) (5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

x1 4x2 2x3 24

3x1 x2 5x3 34 2x 6x x 27

23 1

1

1 1

(6) (6) (8分)求方程组

3 x12 x 21

5

2

1 的最小二乘解。

(7) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题：

dydx xy,

y(1) 2

1 x 1.2

用改进的Euler方法计算y(1.2)的近似值，取步长h 0.2。

三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)

(1) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：

p 1 15，p' 1 20，p'' 1 30，p 2 57，p' 2 72

(2) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：

1 xfxdx Af A1f 1 0 0

2

1

10A 1

(3) (3) (6分)用幂法求矩阵1

1 的模最大的特征值及其相应的单位特征向

量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值

T

1,0为。

(4) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题

y' x f x,y x ,a x b,y a y0 的形式为 yi 1 yi h 0fi 1fi 1 ,i=1,2,…,N

的公式，使其精度尽量高，其中fi f xi,yi , xi a ih, i=0,1,…,N, h b a N

(5) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题

y'' p x y' q x y r x 0,a x b

y' a 0,y b 0 所得到的三对角线性方程组。

数值计算方法试题三

一、（24分）填空题

(9) (1) (2分)改变函数f(x)

(10) (2) (2分)若用二分法求方程f x 0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小

数，则需要对分 次。

2

x12 x2

f x

xx 12(11) (3) (2分)设

x 1

x (x 1)的形式，使计算结果较精确

，则f' x

2x3,0 x 1

S x 3

2

x ax bx c, (12) (4) (3分)设

1 x 2是3次样条函数，则

a= , b= , c= 。

(13) (5) (3分)若用复化梯形公式计算 0

式估计，至少用 个求积节点。

1

edx

x

，要求误差不超过10

6

，利用余项公

x1 1.6x2 1

0.4x1 x2 2

(14) (6) (6分)写出求解方程组 的Gauss-Seidel迭代公式

， 此迭代法是否收敛 。

5A

4(15) (7) (4分)设4

3 ,则A

Cond A 。

y 0 1，为保证算法的绝对

(16) (8) (2分)若用Euler法求解初值问题y' 10y,稳定，则步长h的取值范围为

二. (64分)

(8) (1) (6分)写出求方程4x cos x 1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证

明其收敛性。

(9) (2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用

余项估计误差。

(10) (3) (10分)求f x e在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。

x

I

(11) (4) (10分)用复化Simpson公式计算积分

差限为0.5 10

5

10

sin x x

dx

的近似值，要求误

。

(12) (5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

x1 4x2 2x3 24

3x1 x2 5x3 34 2x 6x x 27

23 1

1

1 1

(13) (6) (8分)求方程组

3 x12 x 21

5

2

1 的最小二乘解。

(14) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题：

dydx xy,

y(1) 2

1 x 1.2

用改进的Euler方法计算y(1.2)的近似值，取步长h 0.2。

三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)

(6) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：

p 1 15，p' 1 20，p'' 1 30，p 2 57，p' 2 72

(7) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：

1 xfxdx Af A1f 1 0 0

2

1

10A 1

(8) (3) (6分)用幂法求矩阵1

1 的模最大的特征值及其相应的单位特征向

量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值

T

1,0为。

(9) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题

y' x f x,y x ,a x b,y a y0 的形式为 yi 1 yi h 0fi 1fi 1 ,i=1,2,…,N

的公式，使其精度尽量高，其中fi f xi,yi , xi a ih, i=0,1,…,N, h b a N

(10) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题

y'' p x y' q x y r x 0,a x b

y' a 0,y b 0 所得到的三对角线性方程组。

数值计算方法试题一答案

一、一、填空题（每空1分，共17分）

(

22

4

1、（ 10 ） 2、（4、( 1 )、 (

x

j

,0)(0,

22

)

） 3、a=( 3 )，b=（ 3 ），c=（ 1 ）

7! 6

7

)、( x x 3) 52

2

945

4

236.25

62

a 127、 8、9、 10、（ 二、二、选择题（每题2分） 1、（(2)） 2、（（1）） 3、（（1）） 4、（（3））

,

2

2 ）、（ lii 0 ）

三、1、（8分）解： span{1,x}

A

T

2

1

2

19

125

T

1

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