数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一

一、填空题（每空1分，共17分）

1、如果用二分法求方程x x 4 0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

3

2、迭代格式xk 1 xk (xk 2)局部收敛的充分条件是 取值在（ ）。

x3

S(x) 132

(x 1) a(x 1) b(x 1) c 2

0 x 11 x 3

2

3、已知是三次样条函数，则

a=( )，b=（ ），c=（ ）。

4、l0(x),l1(x), ,ln(x)是以整数点x0,x1, ,xn为节点的Lagrange插值基函数，则

n

n

k

n

k

l

k 0

(x)

( )，k 0

x

lj(xk)

( )，当n 2时k 0

(x

4

k

xk 3)lk(x)

2

( )。

742

5、设f(x) 6x 2x 3x 1和节点xk k/2,k 0,1,2, ,则f[x0,x1, ,xn]

和 f0 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为5个节点的求积公式最高代数精度为 。

(x)k 0是区间[0,1]上权函数 (x) 7、k

1

7

x的最高项系数为1的正交多项式族，其中

0(x) 1，则 0x 4(x)dx 。

x1 ax2 b1

8、给定方程组 ax1 x2 b2，a为实数，当a满足 ，且0 2时，SOR迭代法收敛。

y f(x,y)

y(x0) y0

9、解初值问题 的改进欧拉法

[0]

yn 1 yn hf(xn,yn)

h [0]

yn 1 yn [f(xn,yn) f(xn 1,yn 1)] 2

是

阶方法。

1

A 0

a

01a

a

a 1

10、设

，当a （ ）时，必有分解式A LL，其中L为下三

T

角阵，当其对角线元素lii(i 1,2,3)满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。

二、二、选择题（每题2分）

Bx g收敛的充要条件是（ ）1、解方程组Ax b的简单迭代格式x。

（1） (A) 1, (2) (B) 1, (3) (A) 1, (4) (B) 1

(k 1)

(k)

i 02、在牛顿-柯特斯求积公式：是负值时，

公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

b

n

a

f(x)dx (b a) Ci

(n)

f(xi)

中，当系数Ci

(n)

（1）n 8， （2）n 7， （3）n 10， （4）n 6， 3

所确定的插值多项式的次数是（ ）。

（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 4、若用二阶中点公式

yn 1 yn hf(xn

h2,yn

h4

f(xn,yn))

求解初值问题

y 2y,y(0) 1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（ ）。

(1)0 h 2, (2)0 h 2, (3)0 h 2, (4)0 h 2

三、1、（8

y a bx2

1

e

x

2、（15分）用n 8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算 (1) (1) 试用余项估计其误差。

dx

时，

（2）用n 8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。

3四、1、（15分）方程x x 1 0在x 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）

x

x 1对应迭代格式

xn 1

3

xn 1

3

x

1

x对应迭代格式

xn 1

1xn；

；(2)

3

（3）x x 1对应迭代格式xn 1 xn 1。判断迭代格式在x0 1.5的收敛性，选一种收

敛格式计算x 1.5附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组AX f，其中 4

A 3

34 1

1 4

24

f 30

24

，

（1） （1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2） （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。

dy y 1 dx

y(0) 1

五、1、（15分）取步长h 0.1，求解初值问题 用改进的欧拉法求y(0.1)的

值；用经典的四阶龙格—库塔法求y(0.1)的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式p(x)使它满足

p(x0) f(x0),p(x1) f(x1),p (x0) f (x0),p (x1) f (x1),p(x2) f(x2)

六、（下列2题任选一题，4分） 1、 1、 数值积分公式形如

1

xf(x)dx S(x) Af(0) Bf(1) Cf (0) Df (1)

（1） （1） 试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；（2）设

f(x) C[0,1]，推导余项公式R(x)

4

1

xf(x)dx S(x)

，并估计误差。

2、 2、 用二步法

yn 1 0yn 1yn 1 h[ f(xn,yn) (1 )f(xn 1,yn 1)]

y f(x,y)

求解常微分方程的初值问题 y(x0) y0时，如何选择参数 0, 1, 使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。

数值计算方法试题二

一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若A是n n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A LU唯一

成立。 （ ） ２、当n 8时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（ ）

n

3、形如

a

b

f(x)dx

i 1

Aif(xi)

的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次

数为2n 1。 （ ） 2

A 1

0 ４、矩阵

111

0

1 2 的２－范数A2＝９。（ ）

2aa0

A 0a0

0 0a ，则对任意实数a 0，方程组Ax b都是病态的。5、设（用 ） （ ）

6、设A R

n n

Q R，

n n

TA QA

22。，且有QQ I（单位阵），则有（ ）

7、区间 a,b 上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯一。（ ）

8、对矩阵A作如下的Doolittle分解： 2 A 4

2

274

3 1 7 2

5 1

8

4

01a

0 2

0 0 1 0

2

2b0

3

1 6 ，b 2。则a,b的值分别为a 2，（ ）

二、填空题：（共20分，每小题2分）

1、设f(x) 9x 3x 21x 10，则均差

f[2,2, ,2] __________，f[3,3, ,3] __________。

2、设函数f(x)于区间 a,b 上有足够阶连续导数，p a,b 为f(x)的一个m重零点，

xk 1 xk m

f(xk)

f(xk)的收敛阶至少是 __________阶。

'

1

8

1

9

Newton迭代公式

３、区间 a,b 上的三次样条插值函数S(x)在 a,b 上具有直到__________阶的连续导

数。

7 A 3T

X (1, 2) 4、向量,矩阵

2

1 ，则

AX

1

__________，cond(A) __________。

5、为使两点的数值求积公式： 1

1

f(x)dx f(x0) f(x1)

具有最高的代数精确度，则

其求积基点应为x1 __________，x2 __________。 6、设A R

等于）

n n

，A

T

A，则 (A)（谱半径）__________

A

2