理想流体有旋无旋流动

理想流体的有旋流动和无旋流动

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理想流体运动基本方程组 理想流体基本方程的定解条件及其积分 理想流体的有旋流动

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有势流动 速度势和流函数 几种简单的不可压缩流体的平面流动及其叠加 平行流绕过圆柱体的平面流动

8.1 微分形式的连续方程 C vx dydz

G

Bdy

FD

[ v x

( v x ) dx ] dydz x

y

vyz A

x

vz dx vx

dz

H

E

单位时间内ABCD面流入

vx dydz 单位时间内EFGH面流出 v x ( v x ) ( dx )( v x dx )dydz [ v x dx ] dydz x x x

8.1 微分形式的连续方程 单位时间内x方向净质量流量

( v x ) dxdydz x 同理：单位时间内y方向净质量流量

( v y ) y z方向：

dxdydz

( v z ) dxdydz z

单位时间内控制体内密度变化引起的质量变化量为：

dxdydz t

8.1 微分形式的连续方程 由质量守恒： 即：控制体内流体质量的增长率+ 通过界面流出控制体的质量流量=0

( v x ) ( v y ) ( v z ) 0 t x y z微分形式的连续方程引入哈密顿算子 i j k x y z

v x v y v z v x y z ( v x ) ( v y ) ( v z ) ( v ) x y z

8.1 微分形式的连续方程

( v ) 0 t用欧拉法分析流体运动时:

d vx vy vz dt t x y z当地导数

迁移导数

( v x ) ( v y ) ( v z ) 0 t x y z

展开并整理，得：

v x v y v z d ( ) 0 dt x y z

d ( v ) 0 dt

8.1 微分形式的连续方程

散度：

v x v y v z div( v ) v x y z

div ( v ) 0 td div ( v ) 0 dt微分形式的连续方程适用于所有流体(粘性、理想),所有 流态(层、紊、亚音速、超音速等)。

8.1 微分形式的连续方程

对定常流动： ( v x ) ( v y ) ( v z ) 0 x y z

div ( v ) 0

( v ) 0

对不可压缩流体定常流动： v x v y v z 0 x y z

div ( v ) 0

v 0

8.2 流体微团运动的分解

刚体任意参考点的平移速度 刚体的运动速度

绕参考点的旋转速度

质点上任意参考点的平移速度 流体任一质点 速度 绕通过该点的瞬时轴旋转速度 变形速度

8.2 流体微团运动的分解 C B

G

vyD

F

dy

vz vxH

y

A

dz

dxvFX

E vx dx vx dy vx dz vx x 2 y 2 z 2

z

x

v FY

v y dx v y dy v y dz vy x 2 y 2 z 2 v z

dx v z dy v z dz vz x 2 y 2 z 2

v FZ

8.2 流体微团运动的分解

v FX

v x dx v x dy v x dz vx x 2 y 2 z 2

1 v y dy 1 v z dz 2 x 2 2 x 2

v x dx 1 v x v y dy 1 v x v z dz vx [ ( ) ( ) ] x 2 2 y x 2 2 z x 2移动 线变形运动 角变形运动

1 v x v y dy 1 v x v z dz [ ( ) ( ) ] 2 y x 2 2 z x 2旋转运动

8.2 流体微团运动的分解 v vx x x v y vy x dx v x 2 y dx v y 2 D y dy 2 dy 2 v x vx x v y vy x A dx v x 2 y dx v y 2 y dy 2 dy 2

vyvx v x vx x v y vy x dx v x 2 y dx C v y 2 y dy 2 dy 2 v x vx x B v y vy x dx v x 2 y dx v y 2 y dy 2 dy 2

8.2 流体微团运动的分解

移动

移动速度：

vx

vy

vz

8.2 流体微团运动的分解

线变形

每秒内单位长度的伸长(或缩短)量称为线应变速度 线变形速度： v x x

v y y

8.2 流体微团运动的分解

角变形

角变形速度的定义为每秒内一个直角的角度变化量。记为：

) 2 (

8.2 流体微团运动的分解 通过形心互相垂直的两条中心线直角夹角的减小量(即变化量) 为 d d ,于是得流体微团在垂直于 z轴的平面上的角变形 速度分量d d 2 z dt dt

1 d d 1 v y v x z ( ) ( ) 2 dt dt 2 x y1 v z v y ) 2 y z

x (

流体微团角变形速度之 半的三个分量

y (

1 v x v z ) 2 z x

1 v y v x z ( ) 2 x y

8.2 流体微团运动的分解

旋转运动

v x v y d dt d dt y x 流体微团的旋转角速度的定义为每秒内绕同一转轴的两条互相 垂直的微元线段旋转角度的平均值。

8.2 流体微团运动的分解

流体微团沿z轴的旋转角速度分量

流体微团旋转角 速度的三个分量

8.2 流体微团运动的分解 把以上结果代入F点的速度公式

在一般情况下流体微团的运动可分解为三部分：①随流体微团 中某一点一起前进的平移运动；②绕这一点的旋转运动；③变 形运动(包括线变形和角变形)。