2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解

第40讲：数列求和的方法

【考纲要求】

掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式

【基础知识】

1、数列的求和要有通项意识，先要对通项特征进行分析（数列的通项决定了数列的求和方法），再确定数列求和的方法。

2、数列常用的求和方法有五种：求和五法一公二错三分四裂五倒，最后一定要牢记，公比为1不为1

（1）公式法：

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和

立方数列等）也可以直接使用公式求和。

（2）错位相减法：

若数列{bnicn}，其中{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，则采用错位相减法.若an=bn cn，其中{bn}是等差数列，{cn}是公比为q等比数列，令

Sn=b1c1+b2c2+ +bn 1cn 1+bncn

则qSn=b1c2+b2c3+ +bn 1cn+bncn+1两式错位相减并整理即得。

（3）分组求和法：

有一类数列{an+bn}，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{an},{bn}是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.

（4）裂项相消法：

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似 c （其中{an}是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列

anan+1

等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：①11111 11 ，特别地当时，=

= 1k= nn+kk nn+k nn+1nn+1

（5）倒序相加法：

类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列{a

n}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.

例1已知等比数列{an}中，a1=64,公比q≠1,a2,a3,a4又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项.

(1)求an；(2)设bn=log2an,求数列{|bn|}的前n项和Tn.

解：（1）依题意有a2-a4=3(a3-a4)，

32即2a4-3a3+a2=0,2a1q-3a1q+a1q=0，

即2q-3q+1=0.∵q≠1,∴q=

(2)bn=log2［64×(211n-1.故an=64×(),221n-17-n)］=log22=7-n，2

∴|bn|= 7 nn≤7,

n 7n>7.

n(13 n);n＞7时，2

(n 7)(n 6)Tn=T7+2

n(13 n

) (n≤7), (n 7)(n 6)2=21+，故Tn= (n 7)(n 6)2 +21(n>7).2 n≤7时，Tn=

例2求a+2a2+3a3+…+nan.

23n解：设S=a+2a+3a+…+na.

若a=0,则S=0；

若a=1,则S=n(n+1);2

23n若a≠0,且a≠1,则S=a+2a+3a+…+na,

23nn+1aS=a+2a+…+(n-1)a+na

①-②得

2nn+1（1-a）S=a+a+…+a-na①②

a(1 an)n+1=-na.1 a

a(1 an)nan+1

∴S= .1 a(1 a)2

【点评】（1）利用错位相减法求数列的前n项和，要注意错位相减时，符号的改变和等比数列的项数和首项。（2）该题中有两次分类，一是关于数列是否等比的分类，一是等比数列的

公比是否为1的分类。注意逻辑分类的思想的运用，培养思维的严谨性。

【变式演练2】已知f(x)=a1x+a2x2+ +anxn,且a1,a2,a3, an成等差数列，n为正偶数，又f(1)=n,f( 1)=n，试比较f()与3

的大小。21

2

111+4,2+7, ,n 1+3n 2，…aaa

111解：设Sn=(1+1)+(+4)+(2+7)+ +(n 1+3n 2)aaa例3求数列的前n项和：1+1,

将其每一项拆开再重新组合得111+2+ +n 1)+(1+4+7+ +3n 2)aaa

(3n 1)n(3n+1)n＝当a＝1时，Sn=n+22

11 n(3n 1)na

a1 n(3n 1)n当a≠1时，Sn=+＝+2a 121 aSn=(1+

方法四

类似 裂项相消法

使用情景c （其中{an}是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部

anan+1

解题步骤

例4分无理数列等。把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和。已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26.{an}的前n项和为Sn.

（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1（n∈N+）,求数列{bn}的前n项和T

n.2an 1

【点评】利用裂项相消时，注意消了哪些项，保留了哪些项。如an=1111=( )n(n+2)2nn+2

1111111111111Sn=a1+a2+iii+an=( + + +iii+ + + )2132435n 2nn 1n+1nn+2

=11111(+ )为了确定保留了哪些项，最好前后多写一些项。212n+1n+2

2242(2n)2

++ +【变式演练4】求和Sn

=1 33 5(2n 1)(2n+1)

012例5求证：Cn+3Cn+5Cn+ +(2n+1)Cnn=(n+1)2n

n01证明：设Sn=Cn…………………………..①+3Cn+5Cn2+ +(2n+1)Cn

把①式右边倒转过来得

n 110Sn=(2n+1)Cnn+(2n 1)Cn+ +3Cn+Cn

m又由Cn=Cnn m可得

01n 1+(2n 1)Cn+ +3Cn+Cnn…………..……..②Sn=(2n+1)Cn

01n 12Sn=(2n+2)(Cn+Cn+ +Cn+Cnn)=2(n+1) 2n①+②得∴

Sn=(n+

1) 2n

（1）证明：f(x)+f(1 x)=1；（2）求f 1 + 10 2 f + + 10 8 f + 10 9 f 的值. 10

【高考精选传真】

1.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=

(D)176(C)143(B)88(A)58

【解析】在等差数列中，∵a1+a11=a4+a8=16,∴s11=11×(a1+a11)=88，答案为B2

（2012高考真题全国大纲理5）．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15，则数列

A． 1 的前100项和为aa nn+1 100

101B．99

101C．99

100D．101

100

【解析】由Sn,a5=5,S5=15可得

a1+4d=5 a1=1 an=n 5×4d=15 d=1 5a1+ 2

∴1111== anan+1n(n+1)nn+1

111111100S100=(1 )+( )+ +( )=1 =223100101101101

3.【2012高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、

体积分别记为V1，V2， ，Vn， ，则lim(V1+V2+ +Vn)=n→∞1为公比的等比数列，2。

【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，1为公比的等比数列，8

1

n818=(1 n)，∴lim(V1+V2+ +Vn)=。∴V1+V2+…+Vn=n→∞17781 81 4.【2012高考真题湖北理18】（本小题满分12分）

已知等差数列{an}前三项的和为 3，前三项的积为8.

（Ⅰ）求等差数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前

n项和.

记数列{|an|}的前n项和为Sn.

当n=1时，S1=|a1|=4；当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5；

当n≥3时，

Sn=S2+|a3|+|a4|+ +|an|=5+(3×3 7)+(3×4 7)+ +(3n 7)

(n 2)[2+(3n 7)]3211=5+=n n+10.当n=2时，满足此式.222

n=1, 4, 综上，Sn= 3211n n+10,n>1. 2 2

（2012高考真题江西理16）.（本小题满分12分）5、

已知数列{an}的前n项和Sn=

（1）确定常数k，求an；（2）求数列{12n+kn(k∈N ),且Sn的最大值为8.29 2an的前n项和Tn。2n

1211故n+kn取最大值，即8= k2+k2=k2，222

979k=4，从而an=Sn Sn 1= n(n≥2)，又a1=S1=，所以an= n222

9 2ann23n 1n（1）因为bn=，=T=b+b+ +b=1+++ …… 此处隐藏：3557字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……