第五章 贝塞尔函数(3)

(n) m

R

r)的模。

利用§2.6中关于特征函数系的完备性可知，任意在[0,R]上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数f(r)，只要它在r 0处有界，在r R处等于零，则它必能展开成如下形式的绝对且一致收敛的级数

f(r) AmJn(

m 1

(n)

m

R

r) （5.42）

k(n)

Rr)，并

为了确定这个展开式的系数Am，在（5.42）两端同乘以rJn(对r从0到R积分，由正交关系式（5.40）得

即

R

rf(r)Jn(

k(n)

R

r)dr Ak rJ(

R

2

n

k(n)

R

r)dr

Ak

0

R22(n)

Jn 1( k)2

1

R

rf(r)Jn(

k(n)

R

r)dr （5.43）

下一节将通过例子说明贝塞尔函数在求解定解问题时的用法。 §5.6贝塞尔函数应用举例

下面举两个例子，说明用贝塞尔函数求解定解问题的全过程。 例1 设有半径为1的薄均匀圆盘，边界上温度为零摄氏度，初始时刻圆盘内温度分布为1 r2，其中r是圆盘内任一点的极半径，求圆盘内温度分布规律。

数理方程

解 由于是在圆盘内求解问题，故采用极坐标系较为方便，并考虑到定解条件与 无关，所以温度分布只能是r,t的函数，于是根据问题的要求，即可归结为求解下列定解问题：

2

u1 u2 u a( ),0 r 1,t 0, (5.44) t2

rr r

ur 1 0,t 0, (5.45) 2u 1 r,0 r 1, (5.46)t 0

此外，由物理意义，还有条件u ，且当t 时，u 0。令

u(r,t) F(r)T(t)

代入方程（5.44）得

1

FT a2(F F )T

r

或

1 F F

T 2aTF

由此得

r2F rF r2F 0 （5.47） T a2 T 0 （5.48）

方程（5.48）得解为

T(t) Ce a t

2

因为t 时，u 0。所以 只能大于零，令 2，则

T(t) Ce a t

2

2

此时方程（5.47）的通解为

F(r) C1J0( r) C2Y0( r)

由u(r,t)的有界性，可知C2 0，再由（5.45）得J0( ) 0，即 是J0(x)

数理方程

(0)

的零点。以 n表示J0(x)的正零点，则

(0)

n(n 1,2,3, )

综合以上结果可得

(0)

F(r) J0( nr)

T(t) Ce a

2

(0)2

( n)t

从而

un(r,t) Cne

n 1

(0)2

a2( n)t

(0)

J0( nr)

由条件（5.46）得

(0)

1 r CnJ0( nr)

2

n 1

从而

Cn

2

(0)2

( n[J0)]

10

1

(0)

(1 r2)rJ0( nr)dr

1

2

(0)

J12( n)

(0)(0)

[ rJ0( nr)dr r3J0( nr)dr]

(0)(0)(0)(0)(0)

因d[( nr)J1( nr)] ( nr)[J0( nr)d( nr)]，即

(0)

rJ1( nr)(0)

n

d[

(0)

] rJ0( nr)dr

故得

(0)(0)rJ1( nr)J1( n)

rJ( r)dr (0)(0) 00

0 n n1

(0)

n

另外

1

rJ0( r)dr rd[

3

(0)n

1

2

(0)

rJ1( nr)(0)

n(0)

J1( nr)2] r (0)(0)

0 n n

3

1

(0)

r2J1( nr)dr

J1( )

(0)

n(0)n

2

(0)2( n)

(0)

r2J2( nr)

J1( )

(0)

n(0)n

2J( )( )

(0)2n(0)2n