地震波斜入射情形下水平成层半空间自由场的时域计算

第３３卷第３期

２００３年７月

吉林大学学报（地球科学版）

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＪＩＩ．ＩＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＥＡＲＴＨ

ＳＣＩＥＮＣＥＥＤＩＴＩＯＮ）

Ｖ０１＿３３

Ｊ

Ｎｏ．３

ｕ１．２００３

文章编号：１６７１—５８８８（２００３）０３—０３７２—０５

地震波斜入射情形下水平成层半空间自由场的时域计算

李山有１，王学良２，周正华１

】．中国地震局工程力学研究所，黑龙江哈尔滨】５００８０；２，云南省楚雄师范学院地理系，Ｚ－南楚雄５７５０００１

摘要：在应用有限元模拟地震工程中的波动散射问题时．为了计算边界节点的运动和实现波动能量的输入，必须首先确定边界节点的内行波场即背景水平成层半空间的自由场。利用显式有限差分

法的内节点位移计算公式和基于水平成层介质波动传播特点建立的相邻节点问自由场运动的关系

式．给出了计算水平成层半空间自由场的时域方程（咀入射倒边界节点为例）。本方涛是显式有限元意义上的数值精确解，可应用于近场波动数值模拟中内行波场与散射波场的时域同步模拟。

关键词：水平成层半空间Ｉ地震波倾斜八射；自由场；时域算法中图分类号：Ｐ３１５．９

文献标识码：Ａ

０

引言

在应用有限元或有限差分法处理地震工程中的

条件时需从总波场中扣除沿边界传播或向计算区内

传播的非外行波场以得到外行波。对于时空解耦的

人工边界条件来说，可以针对底边界及侧边界分９０

定义非外行波，例如一种具有普遍意义的定义是用

波动散射问题时，必须从半无限背景介质中切取有限的计算区，并在计算区边界上引人台适的人工边

人射地震波作为底边界的非外行渡，侧边界背景介

质的自由场作为侧边界的非外行波“Ｊ。目前，远离散射体的背景介质通常假设为水平成层，而入射地震波也假定为垂直向上传播的剪切波或压缩波，此

时自由场的求取是一个简单的一维问题，可咀方便

地在时域实现。而事实上，当震源距场地较近时，地震波并不是垂直向上入射的，为了确保重大工程在

地震作用下的安全，工程师们已经认识到考虑地震波入射角度不确定性的必要性。此时，为了实现波动散射问题的数值模拟，通常采用“两步法”，即先在

频域内一次性计算好人射侧边界节点的自由场运动时程，然后以数组或文件形式传送到时域的边界处

凰ｌ

Ｆｉｇ．１

Ｔｈｅ

波动有限元模拟力学模型

ｍｅｃｈａｎｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｆｉｎｉｔｅｄｅｍｅｎｔ

理中ｏｏ。这一实施方案不仅操作较繁，而且还要求

计算机有更大的内存和存储空间。为了实现近场波动数值模拟中内行波场与散射波场的时域同步模

拟，本文基于水平成层介质在地震波斜入射情形下波动传播水平视波速不变且已知的特点，建立了人射侧边界节点自由场计算的内插公式，并将其与内

界条件”‘（图１）。由于人工边界条件只能模拟向

计算区外传播的外行波，这样在数值实现这些边界

收稿日期：２００２—０８

２８

基金项目：国家自然科学基金资助项目（５０１７８０６５）；地震科学联合基金资助课题（ｉ０１０６２）

作者简介：李山有（１９６５一），男，河北碰县人，高级工程师．在站博士后．主要从事强震动数据分析与近场波动数值模拟

研究，Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｉ

ｓｈａｎｙｏｕ＠１６３

ｃｏｍ．

第３期李山有，王学良．周正华：地震波斜＾射情形下水平成层半空间自由场的时域计算

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节点位移计算公式相结合得到了入射侧边界节点自由场的时域计算方程。

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入射波，／ｃｂ

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，ｓ波ｕ

ｓ波

圈２

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图３

Ｆｉｇ．３

波速与水平视速度间的关系

ｈｏｒｉｚｏｎ—

Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆｖｅｌｏｃｉｔｙａｎｄａｐｐａｒｅｎｔｔａｔｖｅｌｏｃｉｔｙ

匕乡＼反射｛虚

分“。］。从时间上讲，它由前两个时刻的位移场递

Ｐ—ｓｖ波的反射与折射

ａｎｄ

推第三时刻的位移场，递推是显式的；从空间上讲，

Ｆｉｇ．２

ＲｅｆｌｅｃｔｉｏｎｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｏｆＰａｎｄＳＶｗａｖｅｓ

任意点（ｐ＋１）Ａｔ时刻的位移只需用与该点直接相

连（含该节点）单元的所有节点的ｐａｔ和（声一１）Ａｔ时刻的位移推出，不再需要进行刚度、质量、阻尼阵

１

水平成层介质中散射波系特征

以水平成层介质的某一层面为例，当Ｐ波或

的总装和求解大型耦联方程组，计算效率得以提高。这里ｐ是正整数，△￡是递推的时间步距。

在弹性无阻尼情形下，显式有限元法内节点位

ＳＶ波倾斜向上入射时，会同时产生反射Ｐ波、反射ＳＶ波以及折射Ｐ波、折射ＳＶ波（图２）。由斯奈尔定律可知，Ｐ波或ＳＶ波的反射角会等于它们的入

射角，同时还有

Ｖ盟

移的计算公式为

蝣１—２“￡，一“蔚１一筹二（Ｆ屯＋∑∑Ｋ…“：。。）。

‘’‘ｌ

ｒＪｍ

”

—ｓｉｎ—ａｉ—ｉ雨一一Ｓｌｎａ２一五雨。

ＶＰｌ

Ｖｓｌ

Ｖ甩

…“７

（２）

式中，Ｈ￡，为节点（｛，Ｊ）在￡＝幽￡时刻的位移向量；

鉴于平面渡传播速度Ｖ与水平视速度Ｕ间有Ｕ＝Ｖ／ｓｉｎＯ（图３），所以，斯奈尔定律又可表述为由入射平面波及其反射和折射所形成的整个波系在水

平方向具有相同的视速度“］。推广到更一般的水平

Ｍ．，为集中于节点（ｉ，Ｊ）的质量；Ｋ…为反映节点

（ｉ，ｊ）与相邻节点（ｍ，ｎ）之间弹性恢复力大小的刚度系数｝Ｒ，为ｐＡｔ时刻作用于节点（ｚ，ｊ）的外荷载，在不考虑体积力时，此项为零。

２．２

成层介质即是倾斜入射平面波所激发的自由场波系以同一水平视波速传播。

边界节点的位移计算

由于地基是半无限体，需引入人工边界切割出有限的计算区进行有限元分析。在众多时域局部人工边界中，透射边界具有简便实用的优点ｏⅢ。透射边界直接模拟波从有限模型的内部穿过人工边界向外透射的过程，并利用人射渡垂直人工边界假定引起的误差仍然是一个向外射出波的特征进行多次透射来实现边界节点波动的“精确”模拟。

考虑人工边界上任一点ｏ，取坐标轴ｚ为边界

的外法线，且ｚ轴的原点与。相合。设ｘ轴上的位移为“（￡，２），在ｚ＝一ｊ△工（△ｚ为人工边界区内节

当Ｐ波入射时，水平视速度为ｕ一墨；当ｓ波入射时，水平视速度为Ｖｚ一播。式中ｕｗ和

ｖ。分别为人射半空间介质的Ｐ波和ｓ波传播速

度。

２

２．１

显式有限差分法的基本思想

内节点的位移计算

基于波速的有限性，廖振鹏等提出了采用集中

质量与差分近似概念的有限元解耦方法，从而使内

点间的空间步距）节点在ｔ一础￡时刻的位移记为

Ｈ？一Ｈ（必￡，－－ｊ△ｘ），则一个具有二阶精度的多次透

射公式（ＭＴＦ）的实现形式为

节点运动方程的求解转变为一种解耦的显式逐步积

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吉林大学学报（地球科学版）

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