第五章 贝塞尔函数(2)

2

ln) 0.5572 ，称为欧拉常数。 其中c lim(1n

12

13

1n

n 2m

根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与

Jn(x)是线性无关的（因为当x 0时，Jn(x)为有限值，而Yn(x)为无穷

大）。

综上所述，不论n是否为整数，贝塞尔方程（5.13）的通解都可表示为

y AJn(x) BYn(x)

其中A,B为任意常数，n为任意实数。 §5.4贝塞尔函数的递推公式

不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此鼓孤立的，而是有一定的联系，本节来建立反映这种联系的递推公式。

先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系。 在（5.17）中令n 0及n 1得

x2x4x6x2kk

J0(x) 1 2 4 ( 1)2k

22(2!)226(3!)22(k!)2

xx3x5x7x2k 1k

J1(x) 3 5 7 ( 1)2k 1

22 2!2 2! 3!2 3! 4!2 k! (k 1)!

取出第一个级数的第k 2项求导数，得

2k 1

dx2k 2x2k 1k 1k(2k 2)xk

( 1) ( 1)2k 2 ( 1)2k 1

2k 222

dx2[(k 1)!]2[(k 1)!]2k!(k 1)!

数理方程

这个式子正好是J1(x)中含x2k 1这一项的负值，且知J0(x)的第一项导数为零，故得关系式

d

J0(x) J1(x) （5.24） dx

将J1(x)乘以x并求导数，又得

ddx2x4x2k 2k

[xJ1(x)] [ 3 ( 1)2k 1 ]dxdx22 2!2k! (k 1)!

x3x2k 1k

x 2 ( 1)2k2

22(k!)

x2x2kk

x[1 2 ( 1)2k ]2

22(k!)

即

d

[xJ1(x)] xJ0(x) （5.25） dx

以上结果可以推广，现将Jn(x)乘以xn求导数，得

dnd x2n 2mm

[xJn(x)] ( 1)2n 2mm! (n m 1)dxdxm 0xn 2m 1 x ( 1)n 2m 1

2m! (n m)m 0

n

m

xnJn 1(x)

即

dn

[xJn(x)] xnJn 1(x) （5.26） dx

同理可得

d n

[xJn(x)] x nJn 1(x) （5.27） dx

将（5.26）和（5.27）两式左端的导数求出来，并经过化简，这分别得

(x) nJn(x) xJn 1(x) xJn

(x) nJn(x) xJn 1(x). 及 xJn

将这两式相减及相加，分别得到

数理方程

Jn 1(x) Jn 1(x)

2

nJn(x) （5.28） x

(x) （5.29） Jn 1(x) Jn 1(x) 2Jn

以上几式就是贝塞尔函数的递推公式，它们在有关贝塞尔函数的的分析运算中非常有用。特别值得一提的是，应用（5.28）式可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来，因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表，这利用此表和（5.28），即可计算任意正整数阶的贝塞尔函数的数值。

第二类贝塞尔函数也具有与第一类贝塞尔函数相同的递推公式

dnn

[xY(x)] xYn 1(x)n dx

d[x nY(x)] x nY(x) nn 1

（5.30） dx

2n

Yn 1(x) Yn 1(x) Yn(x)

x

Yn 1(x) Yn 1(x) 2Yn (x)

作为递推公式的一个应用，考虑半奇数阶的贝塞尔函数，现计算

J2(x)，J 2(x)。由（5.16）可得

2m( 1)mx1

2

J2(x) ()

32m 0

m! ( m)

2

而

31 3 5 (2m 1)1 ( m) () m 1222从而

( 1)m2m 1 J2(x) x x （5.31） 0(2m 1)!同理，可求得

数理方程

J 2(x)

x （5.32）

利用递推公式（5.28）得到

J32(x) 1

J2(x) J 2(x)x

1

cosx sinx)x1dsinx()xdxx3

2

(

32

1dsinx

)()xdxx

同理可得

131dcosx

J 32(x) J2(x) J 2(x) 2()()

xxdxx

一般而言，有

J

1(x) (

1)2

n

n

12

n

12

(

1dnsinx

)() xdxx

J

1

(n )

2

(x)

(

1dcosx

)() （5.33）

xdxx

这里为了方便起见，采用了微分算子(

1dn1d)，它是算子连续作用xdxxdx

1d2sinx1d1dsinx1dn

)() [()]，例如(千万不能把它与nnn次的缩写，

xdxxxdxxdxxxdx

混为一谈。

从（5.33）可以看出，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数。 §5.5函数展成贝塞尔函数的级数

利用贝塞尔求解数学物理方程的定解问题，最终要把已知函数

按贝塞尔方程的特征函数系进行展开。这一节我们先要所明贝塞尔方

数理方程

程的特征函数系是什么样的函数系，然后证明这个特征函数系是一个正交系。

5.5.1 贝塞尔函数的零点

在§5.1中，已经将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成贝塞尔方程的特征值问题：

r2P (r) rP (r) ( r2 n2)P(r) 0,0 r R,(5.34)

P(r)r R 0, (5.35)

P(0) (自然边界条件). (5.36)

方程（5.34）的通解为

P(r) AJn) BYn)，

由条件（5.36）可得B 0，即

P(r) AJn)

利用条件（5.35）得

Jn) 0 （5.37）

这就说明，为了求出上述特征值问题的特征值 必须要计算Jn(x)的零点。Jn(x)有没有实的零点？若存在实的零点，一共有多少个？关于这些问题，有以下结论：

1°Jn(x)有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在x轴上关于原点实对称分布的，因而Jn(x)必有无穷多个正的零点。

2°Jn(x)的零点与Jn 1(x)的零点是彼此相间分布的，即Jn(x)的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个Jn 1(x)的零点。

(n)(n)(n)

3°以 m表示Jn(x)的非负零点（m 1,2, ），则 m 1 m当m

数理方程

时无限地接近于 ，即Jn(x)几乎是以2 为周期的函数。J0(x)与J1(x)的图形见图5.1。

为了便于工程技术上的应用，贝塞尔函数的正零点的数值已被详细计算出来，并列成表格。下表给出了Jn(x)(n 0,1,2, ,5)的前9个正

(n)零点 m(m 1,2, ,9)的近似值：

利用上述关于贝塞尔函数零点的结论，方程（5.37）的解为

(n)

（m 1,2, ） m

即

n (

(n)

m

R

)2（m 1,2, ） （5.38）

与这些特征值相对应的特征函数为

Pm(r) Jn(

(n) m

R

r)（m 1,2, ） （5.39）

5.5.2 贝塞尔函数的正交性

(n)

m

现在来讨论特征函数系 Jn(我们将r) (m 1,2, )的正交性，

R

要证明

R

0,当m k,

（5.40） rJn(r)Jn(r)dr R22R22(n)(n)

RRJn 1( m),当m k, Jn 1( m)

22

(n)

m

(n)k

数理方程

(n)

m

由于贝塞尔函数系 Jn(r) (m 1,2, )是特征值问题（5.34～

R

5.36）的特征函数系，所以它的正交性由§2.6中的施图姆－刘维尔理论可以直接推出。不过因为在那里我们 …… 此处隐藏：2480字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……