第五章 贝塞尔函数

数理方程

第五章 贝塞尔函数

在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。

§5.1 贝塞尔方程的引出

下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。

这个问题可以归结为求解下述定解问题：

2

u 2u22 u22

a( ),x y R,t 0, (5.1) t22

x y

222

ut 0 (x,y),x y R, (5.2)

ux2 y2 R2 0, (5.3)

数理方程

用分离变量法解这个问题，先令

u(x,y,t) V(x,y)T(t)

代入方程（5.1）得

2V 2V

VT a(2 2)T

x y

2

或

2V 2V 22

T x y

( 0) 2

aTV

由此得到下面关于函数T(t)和V(x,y)的方程

T a2 T 0 （5.4）

2V 2V

V 0 （5.5）

x2 y2

从（5.4）得

T(t) Ae

a2 t

方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz）方程。为了求出这个方程满足条件

V

x2 y2 R2

0 （5.6）

的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得

2V1 v1 2V

2 2 2 V 0, R,0 2 , (5.7)

V

R 0,0 2 , (5.8)

再令 V( , ) P( ) ( )， 代入（5.7）并分离变量可得

数理方程

( ) ( ) 0 （5.9）

2P ( ) P ( ) ( 2 )P( ) 0 （5.10）

由于u(x,y,t)是单值函数，所以V(x,y)也必是单值得，因此 ( )应该是以2 为周期的周期函数，这就决定了 只能等于如下的数：

0,12,22, ,n2,

对应于 n n2，有

0( )

a0

（为常数） 2

n( ) ancosn bnsinn ,(n 1,2, )

以 n n2代入（5.10）得

2P ( ) P ( ) ( 2 n2)P( ) 0 （5.11）

这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n阶贝塞尔方程。

若再作代换

r ，

并记

F(r) P则得

r2F (r) rF (r) (r2 n2)F(r) 0.

，

这是n阶贝塞尔方程最常见的形式。

由条件（5.8）及温度u是有限的，分别可得

P(R) 0

（5.12）

P(0)

数理方程

因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件（5.12）下的特征值与特征函数（（5.12中第一个条件是在 R处的第一类边界条件，第二个条件是在 0处的自然边界条件，由于。在下一k( ) 2在 0处为零，所以在这一点应加自然边界条件）节先讨论方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回过头来讨论这个特征值问题。

§5.2 贝塞尔方程的求解

在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例，仍以x表示自变量，以y表示未知函数，则n阶贝塞尔方程为

d2ydy

x x (x2 n2)y 0 （5.13） 2

dxdx

2

其中n为任意实数或复数。我们仅限于n为任意实数，且由于方程中的系数出现n2的项，所以在讨论时，不妨先假定n 0。

设方程（5.13）有一个级数解，其形式为

y x(a0 a1x a2x akx ) akxc k，a0 0 （5.14）

c

2

k

k 0

其中常数c和ak(k 0,1,2, )可以通过把y和它的导数y ,y 代入（5.13）来确定。

将（5.14）及其导数代入（5.13）后得

{[(c k)(c k 1) (c k) (x

k 0

2

n2)]akxc k} 0

化简后写成

数理方程

(c n)a0x [(c 1) n]a1x

22c22c 1

{[(c k)2 n2]ak ak 2}xc k 0

k 2

要上式为恒等式，必须各个x幂的系数全为零，从而得到下列各式： 1°a0(c2 n2) 0； 2°a1[(c 1)2 n2] 0；

3°[(c k)2 n2]ak ak 2 0(k 2,3, )。

由1°得c n，代入2°得a1 0。先暂取c n，代入3°得 4°ak

ak 2

。

k(2n k)

因为a1 0，由4°知a1 a3 a5 a7 0，而a2,a4,a6, 都可以用a0表示，即

a2

a0

，

2(2n 2)

a0

，

2 4(2n 2)(2n 4)

a0

，

2 4 6(2n 2)(2n 4)(2n 6)

a4

a6

a2m ( 1)m

a0

2 4 6 2m(2n 2)(2n 4) (2n 2m)

( 1)ma0

2m

2m!(n 1)(n 2) (n m)

.

由此知（5.14）的一般项为

( 1)ma0xn 2m

22mm!(n 1)(n 2) (n m)

让a0取一个确定的值，就得（5.13）得一个特解。a0是一个任意常数，把a0取作

数理方程

a0

1

n

2 (n 1)

这样选取a0可使一般项系数中2的次数与x的次数相同，并可以运用下列恒等式：

(n m)(n m 1) (n 2)(n 1) (n 1) (n m 1)

使分母简化，从而使（5.14）中一般项的系数变成

a2m ( 1)m

1

（5.15）

2n 2mm! (n m 1)

这样就比较整齐、简单了。

以（5.15）代入（5.14）得到（5.13）的一个特解

xn 2m

y1 ( 1)n 2m(n 0)

2m! (n m 1)m 0

m

用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为n阶第一类贝塞尔函数。记作

xn 2m

Jn(x) ( 1)n 2m(n 0) （5.16）

2m! (n m 1)m 0

m

至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解Jn(x)。

当n为正整数或零时， (n m 1) (n m)!，故有

xn 2m

Jn(x) ( 1)n 2m(n 0,1,2, ) （5.17）

2m!(n m)!m 0

m

取c n时，用同样的方法可得（5.13）的另一特解

x n 2m

J n(x) ( 1) n 2m(n 1,2, ) （5.18）

2m! ( n m 1)!m 0

m

比较（5.16）式与（5.18）式可见，只要在（5.16）右端把n换成 n，

数理方程

即可得到（5.18）式。因此不论n式正数还是负数，总可以用（5.16）统一地表达第一类贝塞尔函数。

当n不为整数时，这两个特解Jn(x)与J n(x)是线性 …… 此处隐藏：2521字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……