二重积分、三重积分(3)

这里，r, , 的变化范围为：0 r ,0 ,0 2 .三组坐标面分别为：

r 常数，即以原点为心的球面； 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；

常数，即过z轴的半平面。不难看出,点M的直角坐标与球面坐标间的关系为

x rsin cos

y rsin sin z rcos

用三组坐标面r 常数, 常数,

常数,将 分划成许多小区域,考虑当r, ,

各取微小增量 dr,d ,d 所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,

2dv rsin drd d ，这就是球面坐标系下的体积元素。由此，有： 其体积近似值为：

f(x,y,z)dv f(rsin cos ,rsin sin ,rcos )r

2

sin drd d

这就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。其右端的三重积分可化为关于积分变量

r, , 的三次积分来实现其计算,当然,这需要将积分区域 用球面坐标r, , 加以表

示。实际中经常遇到的积分区域 是这样的， 是一包围原点的立体, 其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程r r( , ),据球面坐标变量的特点有 :0 r r , ,0 ,0 2 。

2222

x y z a(a 0), 则 的球坐标表示形式为 例如:若 是球体

:0 2 ,0 ,0 r a

【例6】求半径为a的球面与半顶角为 饿内接锥面所围成的立体的体积。

解：设球面通过原点O，球心在z轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与z轴重合，则球面方程为r 2acos ，锥面方程为 。

:0 r 2acos ,0 ,0 2

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

V rsin drd d

2

2

d d

2acos

4 a3

rsin dr 1 cos4

3

2

第四节 重积分的应用

把定积分的元素法推广到二重积分的应用中。

若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d 时，相应地部分量可近似地表示为f x,y d 的形式，其中 x,y 在d 内。这个f x,y d 称为所求量U的元素，记为dU，所求量的积分表达式为U f x,y d 。

D

一、曲面的面积

设曲面S由方程z

f(x,y)给出,Dxy为曲面S在xoy面上的投影区域,函数f(x,y)在

Dxy上具有连续偏导数fx(x,y)和fy(x,y),现计算曲面的面积A。

在闭区域Dxy上任取一直径很小的闭区域d (它的面积也记作d ),在d 内取一点

P(x,y),对应着曲面S上一点M(x,y,f(x,y)),曲面S在点M处的切平面设为T。以小区域

d 的边界为准线作母线平行于z轴的柱面, 该柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面T上截下一小片平面,由于d 的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面

积。曲面S在点M处的法线向量( 指向朝上的那个)为与z轴正向所成夹角 的方向余弦为

n { fx(x,y), fy(x,y),1}

，它

cos

1

2

fx2(x,y) fy(x,y)

dA

，

d

22

cos ，dA fx(x,y) fy(x,y) d

z z

dxdy x y

2

这就是曲面S的面积元素, 故

A f(x,y) f(x,y)d

2

x

2y

Dxy

A

，即：

Dxy

222222

【例1】求球面x y z a含在柱面x y ax(a 0) 内部的面积。

22

D {(x,y)|x y ax} xy解:所求曲面在xoy面的投影区域

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

222

z a x y曲面方程为 , 则

2

zx z2y

aa2 x2 y2

据曲面的对称性,有

A 2

Dxy

aa2 x2 y

dxdy2

2 d

2

acos

aa r

2

2

rdr

2

2a2( 2)

若曲面的方程为x g(y,z)或y h(z,x),可分别将曲面投影到yoz面或zox面,设所得到的投影区域分别为Dyz或Dzx,类似地有

A

x

1

y

2

Dyz

x dydz z

2

或

A

Dzx

y

z

2

y dzdx x

2

二、质心

先讨论平面薄片的质心。设xoy平面上有n个质点，它们分别位于(x1,y1)，(x2,y2)，

,(xn,yn)处，质量分别为m1,m2, ,mn．则该质点系的质心的坐标为：

n

n

MyM

mx

i 1n

ii

m

i 1

M

， x

M

my

i 1n

ii

。

i

m

i 1

i

其中M mi为该质点系的总质量，My mixi,Mx miyi分别为该质点系对y轴

i 1

i 1

i 1

nnn

和x轴的静矩。

设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点 x,y 处的面密度为 x,y ,假定

x,y 在D上连续,如何确定该薄片的质心坐标(,)。

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d (这小闭区域的面积也记作d )， x,y 是这小闭区域上的一个点。由于d 的直径很小，且 x,y 在D上连续，所以薄片中相应于d 的部分的质量近似等于 x,y d ，这部分质量可近似看作集中在点 x,y 上，于是可写出

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静矩元素dMy及dMx：dMy x x,y d ，dMx y x,y d ，以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得：My x x,y d ，Mx y x,y d ，又由平面薄片的质

D

D

量为：M x,y d ，从而,薄片的质心坐标为：

D

MyM

x (x,y)d

D

(x,y)d

D

，

Mx

M

y (x,y)d

D

(x,y)d

D

如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则

11

xd , yd ADAD

(A d

D

为闭区域D的面积

)

十分显然, 这时薄片的质心完全由闭区域D的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片

的质心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。

【例2】求位于两圆 2sin 和 4sin 之间的均匀薄片的质心。 解: 因为闭区域D对称于y轴，所以可知: 0

1

yd

AD

sin d

4sin

2sin

2d

3

7 7

，所求质心是 0, 。 3 3

类似地，占有空间有界闭区域 、在点 x,y,z 处的密度为 x,y,z (假定 x,y,z 在

上连续)的物体的质心坐标是

1

M

x x,y,z dv，

1M

y x,y,z dv，

1M

z x,y,z dv

其中M x,y,z dv

三、转动惯量

先讨论平面薄片的转动惯量。

设平面上有n个质点, 它们分别位于点(x1,y1),(x2,y2), ,(xn,yn)处, 质量分别为

m1,m2, ,mn。设质点系对于x轴以及对于y轴的转动惯量依次为

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