二重积分、三重积分(2)

D

i i i i i,

极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。

【情形一】D: 1( ) 2( ), ，其中函数 1( ), 2( )在[ , ]上连续。

f( cos , sin ) d d d

D

1

2

f( cos , sin ) d

【情形二】D:0 ( ), ，极点O在区域D的边界曲线上。

D

f( cos , sin ) d d d

f( cos , sin ) d

【情形三】D:0 ( ),0 2 ，极点O在区域D的内部。

f( cos , sin ) d d

D

2

d

f( cos , sin ) d

【例6】将下列区域用极坐标变量表示

22D:x y 2y

1、1

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

解：D1:0 2sin ,0

22

D: R x R,R y R R x22、

解：D2:

R 3

2Rsin , sin 44

【例7】计算

e

D

x2 y2

dxdy，其中D 是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.

解：在级坐标系下，D:0 a,0 2

2

a

x

e D

2

y2

dxdy e d d d e d

2

22

1 e a

D

00

注意：本题如果用直角坐标计算，由于积分 e xdx不能用初等函数表示，所以算不出来。我们可以利用上面的结果来计算工程上常用的反常积分 e xdx 。

0

2

2

设D1 x,yx2 y2 R2,x 0,y 0 ，S x,y0 x R,0 y R

D2

2

x,y x

y2 2R2,x 0,y 0 ，显然，D1 S D2

2

而被积函数满足 e

x2 y2

0,故 D

2

2

x y x y x y

edxdy edxdy edxdy

1

22222

S

D2

再利用例7的结果有D

x y

edxdy

1

(1 e R) e x ydxdy (1 e 2R)

44D

, ,

2

222

2

e

S

x2 y2

RR

dxdy dx e

2

x2 y2

R

dy edx edy

R

2

x2

R

y2

R

2

2

e xdx e ydy e xdx e xdx e xdx 0 0 0 0 0

2

2

RRR

R

(1 e R

4故不等式改写成 ： 4

2

2

R x2 R 2R2

) edx (1 e)

44 0

2

x2 x2

I edx edx

4, 即 2 。 0所以当R 时有 0

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

注意：使用极坐标变换计算二重积分的原则：

(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；

22

(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含(x y), 为实数 )。

第三节 三重积分

一、三重积分的概念

[定义] 设f x,y,z 是空间有界闭区域 上的有界函数,将 任意地分划成n个小区域

v1, v2, , vn,其中 v表示第i个小区域,也表示它的体积。在每个小区域 vi上任取一i

点 i, i, i , 作乘积f i, i, i vi， i 1,2, ,n ，并作和式 f i, i, i vi。如果当

i 1n

各小闭区域直径中的最大值 趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f x,y,z 在闭区域 上的三重积分。记作 f x,y,z dv，即 f x,y,z dv lim f i, i, i vi

n

0

i 1

其中dv叫体积元素。

自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成dxdydz。

若函数在区域上连续, 则三重积分存在。

特别指出:二重积分的一些术语、性质可相应地移植到三重积分。

如果f x,y,z 表示某物体在 x,y,z 处的质量密度, 是该物体所占有的空间区域,且

f x,y,z 在 上连续,则和式 f i, i, i vi就是物体质量M的近似值, 该和式当

i 1

n

0时的极限值就是该物体的质量M，故M f x,y,z dv。特别地, 当f x,y,z 1

时, dv 的体积 。

二、三重积分的计算

1、利用直角坐标计算三重积分

在xoy面上的投影区域为Dxy, 过Dxy上任意一点, 作平行于z轴的直线穿过

内部, 与 边界曲面相交不多于两点。 亦即, 的边界曲面可分为上、下两片部分曲

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

面。S1:

z z1(x,y) ,S2:z z2(x,y)，其中z1(x,y), z2(x,y)在D上连续, 并且

xy

z1(x,y) z2(x,y)。 x,y,zz1 x,y z z2 x,y , x,y Dxy ，

若Dxy x,yy1 x y y2 x ,a x b ，则三重积分可化为如下三次积分：

f x,y,z dv dx

a

b

y2 x

y1 x

dy

z2 x,y

z1 x,y

f x,y,z dz

这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量z, 次对y,最后对x的三次积分。

如果平行于x轴或y轴且穿过闭区域 内部的直线与 的边界曲面S相交不多于两点，也可把闭区域 投影到yoz面上或xoz面上，这样便可把三重积分化为按其他顺序的三次积分。如果平行于坐标轴且穿过闭区域 内部的直线与边界曲面S的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法, 将 分成若干个部分,(如 1, 2),使在 上的三重积分化为各部分区域( 1, 2)上的三重积分之和,当然各部分区域 ( 1, 2) 应适合对区域的要求。

【例1】计算 xyzdxdydz, 其中 为球面x2 y2 z2 1及三坐标面所围成的位于第一卦

限的立体。

解: x,y,z 0 z x2 y2,0 y x2,0 x 1

xyzdxdydz dx

1

x2

dy

1 x2 y2

xyzdz

1

48

计算三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分，即所谓截面法。有下述计算公式。

设空间闭区域 x,y,zx,y Dz,c1 z c2

其中Dz是竖标为z的平面截闭区域 所得到的一个平面闭区域，则有：

f x,y,z dv dz f x,y,z dxdy

c1

Dz

c2

【例2】计算三重积分 zdxdydz，其中 为三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区

域.

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

解（一） zdxdydz zdz dxdy, Dz {(x,y)|x y 1 z}

Dz

11112 z (1 z)dz 原式. dxdy (1 z)(1 z) 02422Dz

1

解（二） zdxdydz zdz

11 z

dy

1 y z

dx

11 z112

z (1 z)dz 。 zdz(1 y z)dy 02 0 0

24

1

【例3】区域.

cx2y2z2

解： {(x,y,z)| c z c,2 2 1 2 ， 原式 z2dz dxdy,

cabc Dz

x2y2z2

计算三重积分 zdxdydz，其中 是由椭球面2 2 2 1所成的空间闭 …… 此处隐藏：2712字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……