二重积分、三重积分

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

第九章 重积分

教学内容

二重积分、三重积分的概念和性质，二重积分、三重积分的计算和应用。 教学目的、要求

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分中值定理。 2.熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。

3.掌握二重积分在极坐标系下的计算方法，掌握三重积分在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的计算方法。

4.会用重积分来表达一些几何量（如平面图形的面积、体积、曲面面积）和物理量（如质量、质心坐标、转动惯量、引力等）。 重点与难点

1重点：二重积分的概念与计算。

2难点：三重积分的计算，重积分的应用。

第一节 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积

设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z f x,y (f x,y 在D上连续)且f x,y 0,这种立体称为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算:

用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域 1, 2, , n ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体 分划成n个小曲顶柱体 1, 2, , n。（假设 i所对应的小曲顶柱体为 i,这里 i既代表第i个小区域,又表示它的面积值,

i

既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。）从而V i 。

i 1

n

由于f x,y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 i f i, i i

n

i, i i 。

整个曲顶柱体的体积近似值为V f i, i i 。为得到V的精确值,只需让这n个

i 1

小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设n个小区域直径中的最大者为 , 则

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

V lim f i, i i

0

i 1

n

2、平面薄片的质量

设有一平面薄片占有 xoy 面上的区域D, 它在 x,y 处的面密度为 x,y ,这里

x,y 0,而且 x,y 在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。

, n用 记 的直径, 既代表第i个小区域将D分成n个小区域 1, 2, iii

又代表它的面积。 当 max i 很小时, 由于 x,y 连续, 每小片区域的质量可近似地

1 i n

看作是均匀的, 那么第小i块区域的近似质量可取为

i, i i

i, i i ，于是 M i, i i， M

i 1

n

lim i, i i

0

i 1

n

两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这

类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念---二重积分。 3、二重积分的定义

[定义]设f x,y 是有界闭区域D上的有界函数, 将区域D任意分成n个小闭区域：

1, 2, , n, 其中: 既表示第i个小闭区域, 也表示它的面积。在每个 i上任i

取一点 i, i ，作乘积f i, i i i 1,2, ,n ，并作和 f i, i i。如果当各小闭

i 1n

区域的直径中的最大值 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f x,y 在闭区域D上的二重积分，记作 f x,y d ，即

D

f f x,y d lim

D

0

i 1

n

i

, i i

其中: f x,y 叫做被积函数；f x,y d 叫做被积表达式；d 叫做面积元素；x与y叫做积分变量；D叫做积分区域； f i, i i叫做积分和。

i 1n

若f x,y 在闭区域D上连续, 则f x,y 在D上的二重积分存在。

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将d 记作dxdy (并称dxdy为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为

f x,y dxdy。

D

若f x,y 0,二重积分表示以z f x,y 为顶,以D为底的曲顶柱体的体积。如果

f x,y 是负的，柱体就在xoy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。如果f x,y 在D的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，我们可以把xoy面上方的柱体体积取成正，xoy下方的柱体体积取成负，则f x,y 在D上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。 二、二重积分的性质

二重积分与定积分有相类似的性质 1、【线性性】 D

其中:

[ f(x,y) g(x,y)]d f(x,y)d g(x,y)]d

D

D

, 是常数。

2、【对区域的可加性】若区域D分为两个部分区域D1与D2,则

f(x,y)d f(x,y)d f(x,y)d

D

D1

D2

3、若在D上, f x,y 1, 为区域D的面积,则：

1d d

D

D

几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

4、若在D上,f(x,y) (x,y),则有不等式：D

f(x,y)d (x,y)d

D

f(x,y)d f(x,y)d f(x,y) f(x,y) f(x,y)DD特别地,由于，有：

5、【估值不等式】

设M与m分别是f x,y 在闭区域D上最大值和最小值, 是D的面积,则

m f(x,y)d M

D

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6、【二重积分的中值定理】

设函数f x,y 在闭区域D上连续, 是D的面积,则在D上至少存在一点 , ,使得

f(x,y)d

D

f( , )

【例1】估计二重积分

I (x2 4y2 9)d

D

22

的值, D是圆域x y 4。

解: 求被积函数 f(x,y)=x2+4y2+9在区域D上的最值：

于是有36 9 4 I 25 4 100

f

max

25f 9

,min,

【例2】比较积分ln(x y)d 与[ln(x y)]2d 的大小, 其中D是三角形闭区域, 三顶

D

D

点各为(1,0),(1,1),(2,0)。 解：三角形斜边方程x

y 2，在D内有1 x y 2 e,故ln(x y) 1, 于是

D

2

ln(x y) ln(x y) ,因此 ln(x y)d [ln(x y)]2d 。

D

第二节 二重积分的计算法

利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。 一、利用直角坐标计算二重积分

如果积分区域D为X－型： 1(x) y 2(x)，a x b， 1(x)、 2(x)在区间 a,b 上连续。 f x,y d 的值等于以D为底，以曲面z f x,y 为顶的曲顶柱体的体积应用

D

计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得：

f(x,y)d

D

b

a

dx (x)f(x,y)dy.

1

2(x)

如果积分区域D为Y－型： 1(y) x 2(y),c y d， 1(y)、 2(y)在区间 c,d 上连续。

D

f(x,y)d cdy (y)f(x,y)dx 。…… 此处隐藏：2838字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……