2010高考数学第一轮复习第十三章空间向量与立体几何教案(3)

333

5.在四面体O-ABC中，=a,=b, =c,D为BC的中点,E为AD的中点，则= (用a,b,c表示). 答案 a+b+c （二）、典例探析

例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=a，

AB=b，AD=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，

1

2

14

14

试用a，b，c表示以下各向量： （1）AP；（2）A1N；（3）MP+NC1.

解 （1）∵P是C1D1的中点，∴=AA1+A1D1+D1=a++（2）∵N是BC的中点，∴A1=A1++=-a+b+（3）∵M是AA1的中点，∴=+=又NC1=+CC1=

1

+AA12

111D1C1=a+c+=a+c+222

b.

111

=-a+b+=-a+b+222

1

2

12

12

c.

11A1+=-2212

a+(a+c+b)= a+b+c，

12

12

12

32

12

32

=

1

+AA12

=c+a，∴+NC1=(a+b+c)+(a+c)=a+b+c.

例2、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N 分别是AB、CD的中点.

（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长； （3）求异面直线AN与CM夹角的余弦值

.

（1）证明 设=p, =q，=r.

由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.

=-=

1212

（+）-12

11=22

（q+r-p），

2

2

2

2

∴MN²AB=（q+r-p）²p=（q²p+r²p-p）=（a²cos60°+a²cos60°-a）=0. ∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.

（2）解 由（1）可知=（q+r-p）∴||==（q+r-p） =［q+r+p+2（q²r-p²q-r²p）］=[a+a+a+2（=³2a=

1

4

2

12

12

22

14

2

14

222

14

222

a2a2a2

--）]

222

a222

. ∴|MN|=a,∴MN的长为a.

222

(3)解 设向量与的夹角为 .

∵AN=(AC+AD)=(q+r), =AC-AM=q-p,

∴²=（q+r）²（q-p）=（q-q²p+r²q-r²p） =(a-a²cos60°+a²cos60°-a²cos60°)=又∵||=||=

a， 2

2a2

²²cos=. ∴cos =， aa

3222

2

3

12

2

121212

121212

2

1212

12

22

12

2

12

a2a2a2a2

（a-+-）=.

4242

2

∴²=||²||²cos =

2

3

∴向量AN与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM夹角的余弦值为. 例3、 （1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a²x=-18的向量x的坐标；

（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P的坐标使得=（-AC）；

（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a²b；②a与b夹角的余弦值； ③确定 ， 的值使得 a+ b与z轴垂直，且（ a+ b）²（a+b）=53. 解 （1）∵x与a共线，故可设x=ka，

由a²x=-18得a²ka=k|a|=k（4 1 4）=9k，∴9k=-18，故k=-2. ∴x=-2a=（-4，2，-4）.

（2）设P（x，y，z），则=（x-2，y+1，z-2）， ，=（-4，3，1），∵==（2，6，-3）

1

2

12

2

2

12

（-）.

12

32

∴（x-2，y+1，z-2）=［（2，6，-3）-（-4，3，1）］=（6，3，-4）=(3，，-2)

x 2 3 x 5

113

∴ y 1 ，解得 y ∴P点坐标为(5，，0).

222

z 0 z 2 2

（3）①a²b=（3，5，-4）²（2，1，8）=3³2+5³1-4³8=-21. ②∵|a|=32 52 ( 4)2=52, |b|=22 12 82=69,

a b

∴cos〈a,b〉=ab =

2152 69

77.∴a与b夹角的余弦值为-.

230230

=-

③取z轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.

a b a 0 3 2 ,5 , 4 8 0,0,1 0

依题意 a b a b 53 即

3 2 ,5 , 4 8 5,6,4 53

1

4 8 0 故 解得 1. 29 18 53 2

（三）、强化训练：如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. （1）求证：AO、BO、CO两两垂直； （2）求〈,AO〉.

(1)证明 设=a,=b, =c,正四面体的棱长为1, 则=(a+b+c),=(b+c-5a),

=

1613

16

(a+c-5b), =(a+b-5c)

112

（b+c-5a）²（a+c-5b）=（18a²b-9|a|） 3636

1

6

∴²BO==

1

（18³1³1²cos60°-9）=0.∴⊥BO，∴AO⊥BO，同理AO⊥CO，BO⊥CO， 36

∴AO、BO、CO两两垂直.

1

（2）解 =DV+VM=-3

2

（a+b+c）+

121c=6

1 1

(-2a-2b+c).∴||= 2a 2b c =，

2 6

2

1

||= b c 5a

6

=

1

4

1112

，²=（-2a-2b+c）²（b+c-5a）=，

6642

∴cos〈DM,〉=

12

22

=

2

，∵〈DM,〉∈(0, ),∴〈DM, 〉=45°. 2

（四）、小结：本节主要有空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间

的关系以及中点公式，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方

法和运算规律结论没变。不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为 ，对于中点公式要熟记。 （五）、作业布置：复资P129页中4、5、8、9

补充：1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为（ C ）A.a

2

B.a2 C.a2 D.

1

2

1432

a 4

2、已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C为线段AB上一点，且A.(， )

7

2

1522

AC1

=，则C点的坐标为( C ) AB3

B. (， 3，2)

8

3

C.(， 1)

10373

D. (， )

527322

3、如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两 两夹角为60°. (1)求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值. 解 记=a，=b，AA1=c，

则|a|=|b|=|c|=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∴a²b=b²c=c²a=.

（1）|AC1|=（a+b+c）=a+b+c+2（a²b+b²c+c²a）=1+1+1+2³(++)=6, ∴|AC1|=6,即AC1的长为6.

(2)BD1=b+c-a,=a+b,∴|BD1|=2,|AC|=,

BD1²AC=（b+c-a）²（a+b）=b-a+a²c+b²c=1.∴cos〈BD1,AC〉

2

2

2

2

2

2

2

1

2

121212

. 6

∴AC与BD1夹角的余弦值为五、教学反思：

6. 6

立体几何中的向量方法 -------空间夹角和距离

一．考纲要求：

1．能借助空间几何体内的位 …… 此处隐藏：2659字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……