概率统计第四章习题

第三 随章机变量数字特征的(一)本基容 一、一维随内变机的数量学望期义1: 定一离是散随机型量变 ，定义 ：设X一是离型随散机变，量分其布列为 是：一离散随机型变 其量布列为：分

x2XL xi L x P 1p (x1) p (x )2 pL(x i) L

随则机量X 变数期学为望 则随机变 量的数期望学:为E ( ) X=∑ xp (x)i i i ∞

+一是续型随连变机，量是 连续型一随变机 量义2定： 定义： 设是一X续型随连变机，其分布量密为 度 f x() ,则机随量变的数X学期望为则 机变量随的 学期数望为 ( EX )= x (f xd) ∫x ∞

1

二、维随二变量机数学的望期的联概率合数为函p( (x)1设二维散随机变量离 )设二维离随机散变量X(,)Y的联概合函数为率 i, yj)则，的 联概合函数为率 随，变量机X 及数的学期分望定别义下如 随机变： 及量Y的 学期望分别数义定如：

下E X ) ( =∑∑xi p x i, y j, E(Y) ∑∑ =yj p xi , y .j: 即( X ) Ei=(

)

∑ p x(x ),j

iX

iEY () =∑ y j pY y j j.j

i( )

(

)

i

假级定是绝对收敛的. 假数级定数是绝收敛的 的联对合概密度为f率x,( y)则， 2)(设二维连随续机变量 )二维设连续随变量(X,Y机)联合的概率密为 的联度概合密率度 ， 为机随变X量及 数的期学分望别定如义下：随 变量机 Y 及数学的期分别望义如下：定 ∫即： (E X ) ∫=

(E X) =

+∞ +∫∞

∞ ∞∞+∞ xf (x ,yd)xd,yE(Y ) = ∫xf (Xx dx),

∞+ +

E(Y∞ )= ∫fY ( yydy). ∞2

∞ ∞ ∞

+∫yf( x y),ddy.x

假积定分绝是对敛收. 的假积定是分对收敛的

绝三、一

维机随变量函的数学期望数()1设散型随离机量变的 概率分布为：) 离散 随机型变量X 概率的分为：布Xx1

x2

L

n

Lx

P (X = xi ) p (x1) p( 2x )Lp( xn )L

数期望为 学则定义机变量随数函 Y= g X )( 数学期的为望

:E = YgE( X ) = ∑g (xi) p ( i )xi

为续连型机随量变 ，为连续随型机量变 2(若X)连为续型机变随量，概率其度密为f ( x ), 则定义 ) 随的数期学为望： 变量机数函Y = g ( X )的 数期学为望：+∞ ∞EY= E g X () = ∫g x() f ( x )dx

3、二维四机随量变函数的的学期数的联望合概函率为数(xp 1(设)二维离随机散变 量)设二离维散随机量(变X,Y的)联概率函数为 i 合 ,yj,)则的联合 概率数函为 ， 机随量变数函gX(,Y)数学期望的如下： 的数期学望下如： 机变量随函 数的数学期如下望

E[( g ,YX)] = ∑ g ∑i , x jy xpi y ,j , ji

()

)(假定个级数这绝对收敛的是. 假定个这数级是对绝收敛 的联的合率概度为f密x,(y ,则) ()2设二维续连随变机 量)设二连维随机变续量X(Y,)联合的率概度密 的联合为率概度为密， 随机量变g(,Y)的X学数望如下期 ：

的数学望如下期 随：变量机的 数期望如学

下[gE( X, )Y] =∫

+∞ +∞ ∞ ∞

∫( g,xy) f( x ,y) dxd,y4

假定个积这是分对收敛绝的. 定这假个积分是对收敛的绝

五

、关于学期数望定的定理理 1定1理E(a+ bX )=a b+XE()E3bX )( =bE X) ()E(a +2X ) = a EX+)

推论( )1Ea= a )

理2 定定理2E(X + Y =) E(X ) +E (Y )

n n推论 ：E ∑ Xi ∑=EX i.推 ： 论 i =1 i = 1定理3 理3定若X、Y 独 ，立则有、 独立则，有

:E (XY ) =E(X E()Y) n 推n 若论X 1 , X ,2L , X n相 独互立， E ∏ 则iX ∏=XE . i相互独立 , i 1= =1i5

、方六与差准差定义 X 的方标： 差D X E=(X X )2 方E:差 义定 X 的标差：准标 差准：σ =XDXD (X ) =∑ xi( X ) piE 2i=1

离∞型随机散变量 ，X 为离散若型随变机，量则有 X 若连续型随为变量，则机有连 型随机变续量

,D( X =)∫ 方差的计算公式: 差的计方算式:公D =XE X [E(X )2]

)(

( x EX ) ∞+

∞

2 f( x)xd2

关方有的差理： 定定1 理关方差有的定：理 定1理推论： 推:Db论= 0;D X( + ) =bD ; XD(a X )= 2aDX.6 D(aX+ b) = a 2X

D

定2理 定理2: X若与 Y立， 独D ( +XY =)D X D+ 与 独立，Y n n 推：论 论推：D ∑ Xi =D(∑Xi ) i 1 = i =1七某、常用分布些的数学期望方差及项二布：分 X =E np ,X = Dnpq -10分布E: X p=, DX p= 二项分q布：分布： 分布q P1ossoni分布EX = , DλX= λ几何分 EX 布= ,D =X 2 布分几 何分: p 布 apb +(b a ) 2 均 分布: 均匀分匀 布X E , =D = 2 12X 1 指1分布:数指 数布 分XE= , XD =2λ

λ7

二

随维变机量的方差 ：维二随变机量的方差:( DX) = (∑x i EX )pX ( x i ) = ∑∑ (xi E X) pix y , j,

离2型散机变量随 ( ,YX), iDY( =)∑ ( y i EY ) Yp2

( ) y( )= ∑ ∑ ( y E Y )(p , yx) .2 ij2

j

j

i

j

连续型随机量变( X ,Y), j

i

j

DX =

∫(x E X2 f X )(x ) dx ∞ ∞+( x XE)2 ( xf, y)ddy x, ∫= ∫ ∞ +∞∞ +∞DY ∫=

y ( Y E ) +∞∞

f2Y ( y)dy+∞2 ∞

∫=∫ ( y E )Yf ( x ,y d)xd y.∞+ ∞

8、八点矩与中心矩其中k原为整正。特别的数 ν,1 =E 其中 X正为整数特别。, 为的正数整 对于散离随机变：量对 于离随机变量：散ν k ( X ) =对于连续随 变量： 对于机续连随机变量： ν k( X) =

定1: 义随机变X 量定 义 随机：量变 的k 原阶矩点：ν k( X =) EX k 原阶点：矩

()

xik (px )i∑ ∫i +∞ ∞xk f ( x)x

d义2:定 中心矩阶： 义定： X 的k 阶中 心：µk矩 (X ) =E X E X( )别特，的特别的 µ 1 = ,0 ;µ2 DX

{[=] k}µk( ) X=∑ [xi E( X )k] ( xp )i对于 离随机散变

量： 于离对散随机变：量i

于连对续随机变：量对于 续连机变量： 随 k (X) = ∫ µ

+∞

∞

[ x (E X )]k

f x)(dx

9九

、协方差相与系关数1X与、 Y的协方差(相关或)矩：与 的方差协 (关矩相：)定义 co( v ,XY ) E{[ =X ( X E])Y[ E (Y) }].注 ⑴ 离型散随机量变 离：散型随变机量:cov( X, Y )

=∑ ∑( x i+j ∞+∞ ∞ ∞

i X

E( y) j E Y ) (p ix ,y j).

⑵续型随连机变： 量连续型机随量：变cov ( , X ) =Y

∫∫ ( xE X( )y E ) Yf( , yx )ddyx.命逆不题立。 逆命成题不立。

成定理2定 2理若 X与Y独立， :则 (X, Y) = 0. 与 立独，c o v是两任个随变量机， 注设与XY是两任个机随变量 与，是任 个两随变量机

定1 理理定co ( v ,YX) = E XY() ( E )X(Y E)D X(+ )Y= D X( ) + (D )Y + c2vo(X ,Y ) 10

2X、Y与的 关系相数与 定义 R X (Y , = co)v (X Y , ) R X( Y, =)co( Xv, Y D) ( X )DY( )

理定3 理3

定R ( X, Y )≤ 1 1, b >0 ;Y = a+ b X 且 ,( X RY ),= 1, <b0. 定4 理理定4 R X(, Y )= 1定理5 理定5 果如X 与Y 独，则 立R X( Y , ) 0, =独立 即: X 与， Y相互立 独相互独 相互

立之 …… 此处隐藏：3675字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……