2010高考数学第一轮复习第十三章空间向量与立体几何教案(2)

1

BB1 2

cos AB1,BM

(BB1 BA) (BC

22 5

1

BB1)

0 2 2 0 0，故填写90o。 22 5

（五）、小结：1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥b a²b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果． 3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式

cosθ

． 4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D

分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，则｜.5．设平面α的一个法向量

为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d

.

第二课时 空间向量的坐标运算

一、复习目标：1、理解空间向量坐标的概念；2、掌握空间向量的坐标运算； 3．掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．

二、重难点：掌握空间向量的坐标运算；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．

三：教学方法：探析类比归纳，讲练结合

四、教学过程 （一）、基础知识过关（学生完成下列填空题）

(a1,a2,a

3)(b1,b2,b3)

(1) a±b＝ 。 (2) a＝ ．(3) a²b＝ ． (4) a∥b ；a b ．

（5）模长公式：若a (a1,a2,a3)， 则|a| ．

A (x1,y1,z1),B (x2,y2,z2)则＝ ， ．

AB的中点M的坐标为 ．

4、直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量？ 5、平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量？ （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标

例1、（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（ ）

A. ：||=：|| B.a1²b1=a2²b2=a3²b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使=k

（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（ ）

A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1

（3）下列各组向量共面的是（ ）

A. a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5) B. a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，c=(0，0，1) C. a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1) D. a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1) 解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；

2 4 16 x 36

4 4y 2x 0

（2）A 点拨：由题知

x 4, x 4,

y 3或 y 1.；

（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。

例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=AB，=AC，（1）求和的夹角 ；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值. 思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=AB，=AC， ∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）. (1)cos 1 0 0

2 5 －10，∴和的夹角为－10。

(2)∵ka+b=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），

k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），

22

∴（k－1，k，2）²（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k－8=2k+k－10=0。

5

则k=－2或k=2。

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（a+b）(ka－2b)=ka－ka²b－2b=2k+k－

5

10=0，解得k=－2，或k=2。 题型2：数量积

2

2

2

2

a=_____. 例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）²

（2）设空间两个不同的单位向量a=(x1，y1，0)，b=(x2，y2，0)与向量c=(1，1，1)的夹角都等于4。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<a，b>的大小(其中0＜<a，b>＜π)。

解析：（1）答案：13；解析：∵（2a－b）²a=2a－b²a=2|a|－|a|²|b|²cos120°=2²4

2

2

22221112－2²5（－）=13。（2）解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y2=1.

2

2

又∵与的夹角为4，∴²=||||cos4=26

1 1=2.

2

2

2

6

又∵a²c=x1+y1，∴x1+y1=2。

另外

2x12+y1

11

22

=(x1+y1)-2x1y1=1，∴2x1y1=(2)－1=2.∴x1y1=4。

(2)cos<，61

1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=2，x1y1=4.

12

∴x1，y1是方程x－2x+4=0的解.

6 2 26 2x ,x ,x ,, 1 1 2 x2 4444

26 26 2 2 y ,y .y ,y .1122 4444 ∴或同理可得或

x1 y2

x2 y1 ∵≠，∴

x1 y2

6 2

, x2 y1 4或 6 2

,4

2

,4 2

.4

6 2 26 6 111

4444∴cos<a，b>=²+²=4+4=2.

∵0≤<，>≤π，∴<，>=3。评述：本题考查向量数量积的运算法则。 题型3：空间向量的应用

例4、（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：a 1+b 1+c 1≤4。

（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。

解析：（1）设m=(a 1，b 1，c 1)，n=(1，1，1)， 则||=4，||=. ∵²≤||²||，

∴m²n=a 1+b 1+c 1≤|m|²|n|=43.

1

当a 1=b 1=c 1时，即a=b=c=3时，取“=”号。

111

（2）解：W=F²s=(F1+F2+F3)²M1M2=14。

=(a，≤||²||，点评：若=(x，y，z)，b，c)，则由²得(ax+by+cz)≤(a+b+c)(x+y+z).

2

2

2

2

2

2

2

此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查||²||≥²的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。

（三）、强化巩固训练 1、(07天津理，4)设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（²）－（²）= ②||－||<|－| ③（²）－（²）不与

22垂直 ④（3+2）（3－2）=9||－4||中，是真命题的有（ ）

A.①② B.②③ C.③④ 解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；答案：D

D.②④

②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；

③因为［（²）－（²）］²=（²）²－（²）²=0，所以垂直.故③假； ④（3+2）（3－2）=9
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