高数(高等教育出版社)第一版,第一章 函数与极限习题详解(5)

(4) 若当x x0时， (x)和 (x)都是无穷小，则当x x0时，下列表达式中哪一

个不一定是无穷小（ ）．

A． (x) (x)； B． 2(x)和 2(x)； C．ln 1 (x) (x) ； D．

(x) (x)

2

．

x2 2x b

,x 1,

(5) 设f(x) 适合limf(x) A，则以下结果正确的是（ ）． x 1x 1

a,x 1

A．a 4,b 3,A 4； B．a 4,A 4,b可取任意实数； C．b 3,A 4,a可取任意实数； D．a,b,A都可取任意实数． 解答：

(1) A; (2) D; (3) D: (4) D; (5) C． 2.设f(x)

12 x

2

, g(x)

x1 x

, 求f g(x) ,g f x 及其定义域.

解: f g(x)

1 1 x

2

22

4x 2 0且x 1,

2 x2

4x 2

, 其定义域为x x 1 x

即D x|x 2 x 1 ;.

1

2g f x 2 x11 2,其定义域为2 x2 0且3-x2 0,

1 3 x

2 x

2

D x|x x .

3.求函数f(x) (1 x2)sgnx的反函数. (1 x2),x 0 x 1解: 因f(x)

0,

x 0, 所以

,

f 1

(x) 0,

x 0

1 x2,x 0

x 1

4.求下列极限: π(1) lim3nπsin3

n 1

n

sin

3

n 1

lim

n

π

3π 3π

;

3

n 1

1(2) lim11

8

n 1

n

(1

8

18

n

) lim

n

81

17

;

8

(3) lim

n

x) nlim

=limarccos

arccos

1

πn

2

3

;

(4) lim

1 cos2xsin2

x2x 0

xsin3x lim2x 0

x 3x 3

;

sinx2

cos

1

x2

cos

1

(5) lim

x 0

x

lim

1x 0

x

lim 0xcosx

0;

x(6)

limx 0

x 4x

lim

x

=lim

x 0

1;

lim

x 0

2sin2

(sinx)sin2

(

sinx(7) lim

1 cos(sinx)2In(1 x2

)

lim

x 0

x2

lim

)x 0

2x 0

x

2

14

;

11

sin

1

(8) lim

xsin

x

sinx

11x

x limxsin limsinx x

xx x lim

x 1 lim1x xsinx 1 0 1;

x