高数(高等教育出版社)第一版,第一章 函数与极限习题详解(3)

x 1x 1

21

e

x 1

的极限．

1x 1

x 1x 1x 1x 1

x 12

21

e

x 1

lim (x 1)e

x 1

0,

11

x 1

lim

ex 1 lim (x 1)ex 1 ,

x 1

所以lim

x 1x 1

21

e

x 1

不存在。

4

．已知lim(5x 1，其中a,b,c为常数，求a和b的值．

x

解：因为 lim(5x lim

x

x

= lim

2

(25 a)x b

lim

x x 25 a 0

a 25 1

，所以，则 ．

1b 10

c

5．计算下列极限： （1）limx sin

x 0

1x1x

0； 0；

（2）lim

（3）lim

1x

x

sin

sinx 0; x xx

arctanx1

（4）lim limarctanx 0

x x xx

x

sinx

lim

1

．

6．试问函数

1

5 xsin, x

f(x) 10,

2 5 x,

x 0,x 0,

在x 0处的左、右极限是否存在？当x 0时，

x 0.

f(x)的极限是否存在？

解：limf(x) lim(5 x2) 5，limf(x) lim(5 xsin) 5，因为f(0 ) f(0)，所以

1

x 0

x 0

x 0

x 0

x

limf(x) 5．

x 0

习 题 1-6

1． 计算下列极限：

1

2x

（1）lim

x x

； （2）；

x 0 1 2

lim

2

x 1

x

x

1（3）limx 5x 2

； （4） x

．

x x 5 limx 2

2

解：（1）limx

1x

x2

1x

(

12

)

2

．（2）22x

2 x

4)

x 0

(1 2

)

limx 0

(1

2

)

e

xlim

(1 x

)

limx 0

(1

x

)

2

( e

4

．x 5

（3）limx 5

)x

x 5 lim (1 10)10 10 (1 10)5

x (

x x 5x 5

x 5

lim10x

(1

x 5)

10

10

lim10510

x

(1

x 5

) e

．

2

（4）limx

1x 2

x 22

11

2

x 2

(2

)

limx 2

(1

2

)

x e2

．

2．计算下列极限：

（1）limxcotx； (2) sin2x

； x 0

lim

x 0

3x

（3）lim

cosx cos3x

； （4）cosx 1

5xlim

x 0

3

；

x 0

x2

（5）lim1x

； （6）lim2nx为不等于零的常数）．x

x sin

n

sin

2

n

(x

解：

(1)limxcotx lim

xcosxsinxcosx

2．

x 0

x 0

sinx 1．(2)lim

sin2xx 0

3x lim

2x 0

3x

3

(3)lim

cosx cos3x

lim

2sin2xsinx

x 0

5x

x 0

5x

2sin2

x

x 2

(4)limcosx 1 limsin

x 0 3 limx 03x 0 0．

x2x2

2 x

2

1

x1sinxsinn

(5)limx

xsin

1 1

．(6)limn 2nsinxx

lim

x

2n lim

n xx x．

x

2

n

3．利用极限存在准则证明：

（1

的极限存在；

证明：先用数学归纳法证明数列 x

n 单调递增。由于x2 x1 0。假设

xn xn 1

0成立，则xn 1

xn，所以数列 xn

单调递增．

下证有界性

x1

1

xn 1

1

xn 1

故0 xn 1

即数列 xn 有界

2根据单调有界准则知limxn存在．不妨设limxn A，

则有A ，

解得A1

n

n

，

A2

2

（舍去）

，即有limxn

n

2

．

（2

）limn

1；

1

2

证明：因为

1

(3) limn

n

3n

，又lim1 lim 1

n n

3 1lim 1．

，所以 n n

2

1

；

3n

2

k

n

n

2

......

2

k

2

，

2

又lim

k

2

k

n

lim

n

13

，所以原式成立．

(4) limx 1．

x 0

x

1

证明：对任一x R，有x 1 x x，则当x 0时，有

1

1

1

1

1 1 1 xx x

1

．于是

（1）当x 0时，x( 1) x x，由夹逼准则得limx 1． x 0xx x x （2）当x 0时，x x x( 1)，同样有limx 1． x 0xx x x

1 1 1 1

习 题 1-7

1． 当x 0时，x 2x2与3x2 2x3相比，哪一个是高阶无穷小？

解：因为lim

2． 证明：当x 0时，secx 1

x

2

2

3

3x 2xx 2x

2

x 0

0，所以3x 2x是比x 2x高阶无穷小．

232

2

．

1

证明：因为lim

secx 1x

2

x 0

limcosx2

x 0x

2

1

lim

x 0

1 cosx

x

2

，又(1 cosx) ，则cosx2

1x

2

2

lim

secx 1x

2

x 0

2

1，故secx 1

x

2

2

．

2

3． 利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1）lim（3）lim

tannxsinmx

x 0

(n,m

为正整数）； （2

）lim

2

sin3x

sinx

；

x 0

ln(1 2x 3x)

4x

x 0

； （4）lim

e

3

1

x 0

arctanx

；

；

（5

）lim

x 0

3

2

（6

）lim

3

x 0

sin3x

2

2

（7）lim

3x 5x 7x4x 2tanx

3

x

x

x 0

； （8）lim

x sinx tan3xsin5x 2x

x 0

a b x

（9）lim ,其中a 0,b 0,均为常数. x 02

解：(1)lim

tan(nx)sinmx

x 0

lim

nxmx

x 0

1

nm

．

2

(2)lim

sin3x

x 0

limx 0

(x 2x)3x

2

16

．

(3)lim

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