高数(高等教育出版社)第一版,第一章 函数与极限习题详解(4)

1

1

；

1 ex

解：f(x)在 ,0 和 0, 内连续，x 0为跳跃间断点．

1

, xsin

（4）f(x) x

0,

x 0,x 0;

解：f(x)在R上是连续的； （5）f(x)

x 1

2

2

x 3x 2

解：f(x)在（ ，1），（1，2）和（2，内连续，x=1为可去向断点，若令f(1) 2, ）

；

则f(x)在x=1连续；x=2为第二类向断点． （6）f(x)

x x|x|(x 1)

22

；

解：f(x)在( , 1)，（－1，0），（0，1）和(1, )内连续；x= 1是第二类间断点；x=0是跳跃间断点；x=1是可去间断点，若令f(1)

12

，则f(x)在x=1处连续．

3．讨论下列函数的连续性，若有间断点，判别其类型． （1）f(x) lim

11 x

n

n

(x 0)

；

解：

1, 1

f(x)

2, 0,

0 x 1,x 1,x 1.

2n

x 1为跳跃间断点；

（2）f(x) lim

(1 x

)x

n

1 x

2n

．

x,

解：f(x) 0,

x,

|x| 1

|x| 1 x 1和x 1为跳跃间断点． |x| 1

sin2x

,

4．设函数f(x) x

x2 a,

x 0,x 0.

2,lim f(x) lim (x a) a,f(0) a,所以，依题意有

2

x 0

x 0

试确定a的值，使函数f(x)在x 0处连续．

解：因为limf(x) lim

x 0

sin2xx

x 0

a=2.

ln(1 3x)

,

5．设函数f(x) sinax

bx 1,

x 0,x 0 1)

1,flixm

ln( 1x3)3

( ，f(0) 1,x 0sinaxa

在点x 0处连续，求a和b的值．

解：因为limfx( )

x 0

x 0

l imbx (

依题意有

x 0

a 3,b为任意实数．

习 题 1-9

1．研究下列函数的连续性： （1）f(x) x2cosx ex；

解答：因为f(x) x2cosx ex在 , 上是初等函数，所以f(x)在 , 上连续．

（2）f(x)

x 3x 27

3

；

x 3x 27

3

解答：显然当x 3时，f(x)无意义，但lim

的可去间断点．

（3

）f(x)

x 3

127

，则x 3是函数f(x)

x 3x 27

3

解答：当 x2 x 12 0时，即x 4,3 时，f(x)连续．

２．求下列极限： （1

）limsin x 1

；

解：limsin(

sin

x 1

2

1;

（2

）limarcsin

x

x

；

解：

xlim

x) limarcsin

x

＝

limarcsin

arcsin

1π；

x

2 6

1

ln(2 x)

（3）lim2

x 1

π；

3arctanx 4

1

1 1)

解：lim ln(2 x)

x 1

ln(23arctanx ππ 1π;

4

3arctan1

4

1 x（4）lim 1 4xx

；

x 0

1 x解：lim 1 4x 14x

( 4x)

1 xx

x

e

4

；

x 0

lim[1x 0

( 4x)]

2

（5）lim[1x 0

ln 1 x ]x；

2

1解：

2ln(1 x)

lim[1 ln(1 ln(1 x)

x

x 0

x)]x lim[1x 0

ln(1 x)]

e

2

；

1

（6）lim(1 x2

ex

1 cosx

；

x 0

)

1

1

x

2

x

解：lim(1 2x

1 cosx

lim(1 x2

ex

)

x2

e

x

1 cosx

e

x 0

xe)

x 0

e2

;

（7

）lim

x 0

解：lim

x 0

lim

x 0

lim

(tanx sinx) x 0

x sin2

x

lim

x x x

2

lim

tanx(1 cosx)

21x sin2

x

lim

x 0

x x2

x 0

2

；

（8）lim(cosx)cotx；

x 0

2

解：lim(cosx)

x 0

cotx

2

lim(1 cosx 1)

x 0

1cosx 1

cosx 1tan2x

e

12

；

（9）limn[lnn ln(n 2)]．

n

解：limn[lnn ln(n 2)] limnln

n

n

nn 2

)

limnln(1

n

2n 2

)

limln(1

n

2n 2

) limln(1

n

n

2n 2

n 2 2n

2 n 2

lne

2

2

；

3．设函数f(x)与g(x)在点x0连续，证明函数

(x) max f(x),g(x) ， (x) min f(x),g(x)

在点x0也连续．

证明：略．

a bx2,x 0,

4．若函数f(x) sinbx在( , )内连续，则a和b的关系是（ ）．

, x 0

x

A．a b． B．a b． C．a b． D ．不能确定．

解答：因为limfx( )

x 0

x 0

liam (bx

2

a)

x

,flxim

sinbx

( mb x0x

依题意有f(0) a,,

a b

．

x 2a

5．设lim 8且a 0，求常数a的值． x x a

x

解：因为

a ln2．

x 2ax

lim) x x a

x

3ax

lim ) xx a

3a

l3a x a

x a3ax

x a

)e

3a

，则e3a 8，所以

习 题 1-10

1. 证明方程xlnx 2在(1,e)内至少有一实根．

证明：令f(x) xlnx 2，则f(x)在[1,e]上连续，又f(1) 2 0，f(e) e 2 0,根

lx 2在据零点定理， f(x) xlnx 2在开区间(1,e)内至少有一点 使f( ) 0，即xn

(1,e)内至少有一实根．

2．证明方程x5 x 1有正实根．

证明：令f(x) x5 x 1，则f(x)在( , )内连续，又f(0) 1 0，f(1) 1 0， 根据零点定理，f(x) x5 x 1在(0,1)内至少有一点 ，使f( ) 0，即x5 x 1有正实根．

3．设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y，恒有f(x) f(y) Lx y，其

中L为正常数，且f(a) f(b) 0．证明：至少有一点 (a,b)，使得f( ) 0．

证明：任取x (a,b)，取 x，使x x (a,b)，依题意有0 f(x x) f(x) L x，则limf(x x) f(x) 0，即limf(x x) f(x)

x 0

x 0

，由x的任意性，可知f(x)在(a,b)内连

续，同理可证f(x)在点a右连续，点b左连续，那么，f(x)在[a,b]上连续。而且

，根据零点定理，至少有一点 (a,b)，使得f( ) 0． f(a) f(b) 0

4．若f(x)在[a,b]上连续，a x1 x2 xn b，则在(x1,xn)内至少有一点 ，使

f( )

f(x1) f(x2) f(xn)

n

f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最小值m

．

证明：因为

m f(x1) M

，最大值M，使得

n

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