高数(高等教育出版社)第一版,第一章 函数与极限习题详解

第一章 函数与极限

习 题 1-1

1．求下列函数的自然定义域： （1

）y

11 x

2

；

．

1 x2 0

解：依题意有 ，则函数定义域D(x) x|x 2且x 1

x 2 02x 1

arccos

（2

）y

2x 1

1

解：依题意有 3，则函数定义域D(x) ．

2

x x 6 0

（3）y ln( x2 3x 2)；

解：依题意有 x2 3x 2 0，则函数定义域D(x) x|1 x 2 ．

1

（4）y 2

x x

3

；

解：依题意有x3 x 0，则函数定义域D(x) x| x 且x 0, 1 ．

1

,　　x 1, sin

（5）y 　x 1

2，　　　 x 1;

解：依题意有定义域D(x) x| x ． （6

）y arctan解：依题意有

1x

x 0 3 x 0

，则函数定义域D(x) x|x 3且x 0 ．

2．已知f(x)定义域为[0,1]，求f(x2), f(sinx), f(x a), f(x a) f(x a) (a 0)的定义域．

解：因为f(x)定义域为[0,1]，所以当0 x2 1时，得函数f(x2)的定义域为[ 1,1]； 当0 sinx 1时，得函数f(sinx)定义域为[2kπ,(2k 1)π]； 当0 x a 1时，得函数f(x a)定义域为[ a, a 1]；

当

0 x a 1 0 x a 1

12

时，得函数f(x a) f(x a)定义域为：（1）若a

12

12

，x a,1 a ；

（2）若a ，x ；（3）若a

12

，x ．

3

．设f(x)

1 1 2 x

,其中a 0,求函数值f(2a),f(1)．

，则 1 a 11 21 a 1

0 ,a>1,

． 2 ,0<a<1

解：因为f(x)

f(2a)

1

1 2 x

1 a 1

1 2 2

4a a 2a

，f(1)

|x| 1, 1

4．设f(x) 0|x| 1,

1|x| 1.

g(x) 2，求f(g(x))与g(f(x))，并做出函数图形．

x

x

12 1x 0 1

解：f(g(x)) 02x 1，即f(g(x)) 0x 0，

1 x 0 x

1 2 1

21

0

g(f(x)) 2

1 2

2

|x| 1，即g(f(x)) 1

1

|x| 1

2

|x| 1

|x| 1|x| 1 |x| 1

，函数图形略．

5．设f(x)

1 x, 1,

x 0,x 0,

试证：f[f(x)]

2 x, 1,

1,

x 1,x 1.

，得证．

证明：f[f(x)]

1 f(x),f(x) 0

1,f(x) 0

，即f[f(x)]

2 x,x 1,x 1

6．下列各组函数中，f(x)与g(x)是否是同一函数？为什么？ （1

）f(x) ln

x,g(x) ln

3

；

不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2

）f(x) g(x) 是．

（3）f(x) 2,g(x) sec2x tan2x； 不是，因为对应法则不同． （4）f(x) 2lgx,g(x) lgx2； 不是，因为定义域不同．

7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）y 3x lnx，x (0, )；

解：当x (0, )时，函数y1 3x单调递增，y2 lnx也是单调递增，则y y1 y2在(0, )内也是递增的．

（2）y 解：

y2

1y1

，x ( ,1)． 1 x x(1 x) 11

，当x ( ,1)时，函数y1 x 1y 1

1 x1 xx 1

1

x

单调递增，则

x 1

是单调递减的，故原函数y

x1 x

是单调递减的．

8. 判定下列函数的奇偶性． （1

）y lg(x

；

解：因为f( x) lg( x

lg(x

1

lg(x

f(x)，

所以y lg(x 是奇函数．

（2）y 0；

解：因为f( x) 0 f(x)，所以y 0是偶函数． （3）y x2 2cosx sinx 1； 解：因为f( x) 2x 2coxs

y

2

sx，i nf( 1x) f(x)且f( x) f(x)，所以

x 2cosx

sxi既非奇函数，又非偶函数． n1

x

x

（4）y

a a

2

.

a

x

解：因为f(x)

f(x)，所以函数y 22

9．设f(x)是定义在[ l,l]上的任意函数，证明：

a

x

a a

x x

是偶函数．

（1）f(x) f( x)是偶函数，f(x) f( x)是奇函数； （2）f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令g(x) f(x) f( x),h(x) f(x) f( x)，则

所以f(x) f( x)是偶函数，g( x) f( x) f(x) g(x),h( x) f( x) f(x) h(x)，

f(x) f( x)是奇函数．

（2）任意函数f(x) 数，

f(x) f( x)

2

f(x) f( x)

2

f(x) f( x)

2

，由（1）可知

f(x) f( x)

2

是偶函

是奇函数，所以命题得证．

10．证明：函数在区间I上有界的充分与必要条件是：函数在I上既有上界又有下界. 证明：（必要性）若函数f(x)在区间I上有界，则存在正数M，使得x I，都有

f(x) M成立，显然 M f(x) M，即证得函数f(x)在区间I上既有上界又有下界

（充分性）设函数f(x)在区间I上既有上界M2，又有下界M1，即有

f(x) M1且f(x) M2，取M max{M1,M2，则有f(x) M

，即函数f(x)在区间I上有

界．

11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）y |sinx|；

周期函数，周期为π． （2）y 1 sinπx； 周期函数，周期为2． （3）y xtanx； 不是周期函数． （4）y cos2x.

周期函数，周期为π．

12．求下列函数的反函数： （1）y

3

xx

3 1

；

yy 1

解：依题意，3x

f

1

，则x log3

．

yy 1

，所以反函数为

(x) log3

（2）

,x ( ,0) (1, )x 1ax by (ad bc)；

cx d

b dycy a

x

解：依题意，x （3

）y lgx 解：依题意，x

，则反函数f 1(x)

b dxcx a

(ad bc)．

；

y

12

(10 10

π4

y

)

，所以反函数f 1(x)

12

(10 10

x x

),x R

．

（4）y 3cos2x,

x

π

． 4

arccos

y3

arccos

x

,x [0,3]．

解：依题意，x

2

，所以反函数f 1(x)

2

13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值：

（1）y eu,u x2＋1,x1 0,x2 2；

（2）y u2 1,u ev 1,v x 1,x1 1,x2 1． 解：（1）y f(x) ex

2

1

,f(0) e,f(2) e

5

（2）y f(x) (ex 1 1)2 1，f(0) e4 2e2 2，f( 1) 1．

14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r，高为H．当倒进溶液后液面的高度为h时，溶液的体积为V．试把h表示为V的函数，并指出其定义区间．

解：依题意有V πr2h，则h

Vπr

2

,V [0,πrH]．

2

15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别 …… 此处隐藏：2553字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……