高数(高等教育出版社)第一版,第一章 函数与极限习题详解(2)

n

当n N时, |yn 0| , 因为对上述N, 当n N时, |xnyn 0| |xnyn| M|yn| M ,由 的任意性, 则limxnyn 0．

n

5．设数列 x

n 的一般项xn 解:

因为lim

0, |cos

(n 3)π

2

，求limxn．

n

(n 3)π

2

x

| 1

, 所以

lim

x

(n 3)π

2

0

.

6．对于数列 xn ，若x2k 1 A(k )，x2k A(k )，证明：xn A(n )． 证明: 由于limx2k 1 A, 所以, 0, N1 0, 当k>N1时，有|x2k 1 A| , 同理,

k

0, N2 0, 当k N2时, 有|x2k A| ．取N=max N1,N2 , 0, 当n N时,

|xn A|

成立, 故xn A(n )．

习 题 1-3

1．当x 1时，y x2 3 4．问 等于多少，使当|x 1| 时，|y 4| 0.01？ 解：令 |x 1|

12

，则

32

2

|x 1|

52

2

，要使

52

|x 1| 0.01，

|y 4| |x 3 4| |x 1| |x 1||x 1|

只要|x 1| 0.004，所以取 0.004，使当 |x 1| 时，|y 4| 0.01成立．

2．当x 时，y

2

2x 1x 3

2

2

2．问X等于多少，使当|x| X时，|y 2| 0.001？

7|x 3|

2

解：要使|y 2| |

2x 1x 3

2

2|

<0.001, 只要|x2 3| 7000, 即x2 3 7000. 因

此,

只要|x| ,

所以取X ．

3．根据函数极限的定义证明：

（1）lim(2x 1) 5； （2）lim

x 3

3x 5x 1x

3；

（3）lim

x 4x 2

2

x 2

4； （4

）lim

x 0

.

1 )

5,|只要

证明:(1) 由于|(x2

|x 3 |

1) 5x| 2|, 任给 0,要使|(x2

2

．因此取

2

,则当0 |x 3| 时, 总有|(2x 1) 5| ,故lim(2x 1) 5．

x 3

(2) 由于|

x 1

0

3x 5x 1

3 |

8

|x 1|

,任给 0, 要使|

8| |1

8|

3x 5x 1

3|

8

,只要

|x 1|

8

,即

8

或x 1

8

, 因为 0,所以|1

3|

, 取M |1

|，则当|x| M时, 对

,总有|

3x 5x 1

2

,故有lim

3x 5x 1

x

3．

(3)由于|

x 4x 2

( 4)| |x 2,|任给 0,,要使|

x 4x 2

2

( 4)| ,只要|x 2| ,因

x 4x 2

2

此取 ,则当0 |x ( 2)| 时,总有|

(4)

由于|因此取M

1

0|

x 4x 2

2

( 4)| ,故lim

x 2

4.

,任给 0,

要使|

0|

0| ,

,即x

1

2

,

2

,则当x>M时,

总有|,

故lim

x

0

.

4．用 X或 语言，写出下列各函数极限的定义：

（1）limf(x) 1； （2）limf(x) a；

x

x

（3）limf(x) b； （4）limf(x) 8．

x a

x 3

解: (1) 0, M 0, 当x<-M时, 总有|f(x) 1| ;

(2) 0, M 0, 当|x| M, 总有|f(x) a| ;

(3) 0, 0, 当a x a 时, 总有|f(x) b| ; (4) 0, 0 当3 x 3时, 总有|f(x) 8| ． 5．证明:lim|x| 0.

x 0

证明: 由于lim|x| limx 0, lim|x| lim( x) 0,所以lim|x| 0.

x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

il()fx6．证明：若x 及x 时，函数f(x)的极限都存在且都等于A，则m

x

x

A

．

A,则对 0, M1 0,当x M1时,有|f(x) A| ．又证明: 由于limf(x)

x

limf(x) A,则 M2 0,当x M2,有|f(x) A| .取M max M1,M2 那么对 0,当

x

|x| M时,总有|f(x) A| ,故有limf(x) A.

习 题 1-4

1．根据定义证明：

（1）y

x 1x 1

2

为当x 1时的无穷小；

（2）y （3）y 证明:

sinxx

1 3xx

1

为当x 时的无穷小； 为当x 0时的无穷大．

2

(1) 0,因为|

lim

x 1x 1

2

x 1x 1

0| |x 1|,取 ,则当0 |x 1| 时, 总有x 0,故

x 1

0．

(2) 0,因为|sinx 0|

x

|1x

sinx 0|

|sinx||x|

1|x|

1

1|x|

|sinx|

1|x|

,取M

1

, 则当|x| M时, 总有

, 故lim

1x

x

sinx 0

.

1 3xx

1x

1|x|

(3) M 0,

lim

1 3xx

1M 3

,当0 |x| 时,总有|

| | 3| 3 M

,所以

x 0

.

2．函数y xsinx在(0, )内是否有界？该函数是否为x 时的无穷大？ 解答: 取xn 2nπ,则yn 0,因此当xn 2nπ n 时, yn 0 xn 故函数 y xsinx 当x 时,不是无穷大量．

下证该函数在 0, 内是无界的. M 0, xn 2nπ

π

yn 2nπ

2

π π sin2nπ 2nπ

2 2

π2

且xn n ,

π2

(0, )

，取N0 M 1, x0 2N0π

,有

yn 2N0π

π2

M

，所以y xsinx是无界的.

1x

1x

3．证明：函数y 证明: 令

1x t

cos

在区间(0,1]上无界，但这函数不是x 0 时的无穷大．

,类似第2题可得．

习 题 1-5

1．求下列极限： （1）lim

3n n 1n 4n 1

3

2

2

；

；

n

（2）lim

n

1 1 2

n

12 3

nn 1

；

n(n 1) 1

2n 1

（3）lim 2 2 2

n nn n

（4）lim（6）lim

3 23

n 1

n

2

3

； ； ；

1

（5）lim

x 1x 5x 4

2

2

；

3

x 1x 5x 32x 1x 5x 3

2

2

x 1x 2

2

（7

）lim（9）lim

x

3

；

2

（8）lim

x

2

(x h) x

h

；

h 0

（10）lim

x 1

1 x

1 x

；

2

（11）limx xx

5x3

； （12

） 3x 1lim

x 1

3（13）limx

； （14）x

2x 1

lim(2x3 3x 6)．

x

解:

3

2

(1) lim

3n n 1

1 13

n3

4n2

= 1

lim2

n

4 0

．

n

1

n

1

n

3(2) lim 111

n(n 1) = lim (1 1

) ( ) ( 1) n