高一三角函数《4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质》教案(7)

本题结合了二次函数求极值，但应注意

（4）由原式得 ．

∵ ，∴ ．

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∴ 或 ．

值域为 ．

小结： 配方法、化一法、逆求法、有界性法等，是求三角函数值域常用的几种方法．相信你会从此题的求解过程中，领悟到这一点．

例4．求函数 的单调减区间．

分析：容易想到将函数转化为

．

，换元令 ，进而转化为

解： ．

令 ，则 ．

由正弦函数的单调性，知

当 （ ）时，函数递减，

即 （ ），

∴ （ ）．

∴函数的单调减区间是 （ ）．

小结：本题通过换元，将函数学思想．

化为 ，充分体现了转化的数

例5．作函数 的图像。

分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图像。

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解：当即

，即 时，有

。其图像如图，

，

小结：函数的图像后，要把

的图像即是 的这些点去掉。

的图像，因此作出

例6．已知 ，（a、b为常数），且 ，求 。

分析：要求函数值，需知函数解析式，因含a、b两个参数，一个条件与

的内在联系，应向函数奇偶性联想。注意到

难确定。深入分析

为奇函数，问题自可获解。

解：因为

为奇函数，所以

，

，所以

所以 。

小结：（1）判断函数奇偶性时应注意“定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件”的应用。

（2）函数奇偶性的确定，可使研究问题的条件增加，从而使问题难度变小，尤其是自变量互为相反数时的函数值关系问题，可考虑奇偶性的应用。

扩展资料

一剪刀剪出一条正弦曲线

把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线．

你知道吗？这条曲线就是正弦曲线！下面就来证明这一事实．

如图1，设纸筒底面半径为1单位长，截面（椭圆面）与底面所成的二面角为心为 过

．

作圆柱的直截面，交截口曲线于两点．取其中一点为

为坐标原点建立直角坐标系，使得

，在过点

且与圆柱侧面相切的平 （定值），截口的中

面内，以点 轴是圆柱的一条母线．

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设点作

面角，所以，

是截口曲线上任意一点，点

，垂足为 ，又设

，连接

是点 ，则

在⊙ 所在平面内的射影，过

是截面与底面所成二面角的平

（变量）．

在图2中，设 点坐标为 ，以下分别计算 点的横坐标和纵坐标．

， ， ①

而在 △ 中， ，所以

将①代入②，且令

nbsp; ②

（定值），则有

这就证明了截口曲线是一条正弦曲线．

（原载《数学通讯》2000年第10期 王方汉 文）

探究活动

试问方程 是否有实数解？若有，请求出实数解的个数；若没有，请说明理由．

分析：可借助函数 和 的图像，通过判断图像是否有交点来判定方程是否有实数解．如有交点，可通过讨论交点数来获得实数解的个数．

解：设奇函数，且

，所以

，因为 是

，且

=0的一个解，于是

的定义域为R，所以 =0的实数解存在且除

是 外

是成对出现的．在 上研究 和 图像交点的情况（参考图）

因为程

=0无解．

，且 是增函数，而 ，所以当x≥100时，方

又始每相隔

，从图像中可得知直线 与曲线 在 中从0开

会有两个交点，所以，当x≥0时共有32个交点，则当x>0时有31 个交点．

故原方程有31×2+1=63个解．

习题精选

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