高一三角函数《4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质》教案(5)

思考题：若 为 的周期，则对于非零整数 ， 也是 的周期．（课外思考）

（2）最小正周期的定义 师：我们知道?，且

）是

，

，

，

是

?都是正弦函数的周期，可以证明

的最小正周期．

（

的周期，其中

一般地，对于一个周期函数就叫做

的最小正周期．

，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数

今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期．

依据定义， （3）例题分析

和 的最小正周期为 ．

【例1】求下列函数的周期：

（1） ， ； （2） ， ；

（3） ， ．

分析：由周期函数的定义，即找非零常数 解：（1）因为余弦函数的周期是的值才能重复取得，函数的周期是

．

，

，使 ．

只要并且至少要增加到

，余弦函数 ，

，所以自变量

的值也才能重复取得，从而函数

即 ，∴

（2）令就是说，变量

，那么 必须并且只需

，函数

，且函数

，

， 的周期是 ，

只要并且至少要增加到

所以自变量

的值才能重复取得，而 ，函数值就能重复取得，

只要并且至少要增加到 ．

从而函数 ， 的周期是

即 ∴

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（3）令 ，那么 必须并且只需 ，且函数 ， 的周

期是加到

，由于

，函数值才能重复取得，即

是能使等式

，所以自变量 只要并且至少要增

成立的最小正数，从而函数

的周期是

．

，

而

∴

师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量

，

且

，

及函数

的系数有关，其规律如何？你能否求出函数

，

（其中

，

，

为常数，

）的周期？

生：

∴ ．

同理可求得 【例2】求证：

的周期 ．

（1） 的周期为 ；

（2） 的周期为 ；

（3） 的周期为 ．

分析：依据周期函数定义 证明．

证明：（1）

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∴

的周期为

．

（2）

∴ 的周期为 ．

（3）

∴ 的周期为 ．

3．演练反馈（投影）

（1）函数 的最小正周期为（ ）

A． B． C． D．

（2） 的周期是_________

（3）求参考答案：

的最小正周期．

（1）C；（2） ∴

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（3）欲求 的周期，一般是把三角函数 化成易求周期的函数

或 的形式，然后用公式

化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．

求最小正周期，而

由

4．总结提炼

（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．

（2）设②

， ；③

．若 为

在

的周期，则必有：① 上恒成立．

为无限集，

（3）只有 或 型的三角函数周期才可用公式 ，

不具有此形式，不能套用．如（四）板书设计

课题 1．周期函数定义 两点注意： ，就不能说它的周期为 ．

例2 的周期 思考问题① 的周期 ② 练习反馈 总结提炼 2．最小正周期定义 例1 19

思考题：设

，求

是定义在

上的表达式

上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当 时，

参考答案： 典型例题

例1．求函数 的定义域．

分析：要求 ，即 ，因为正弦函数具有周期性，所以只需先根据正弦曲线

．

在一个周期上找出适合条件区间，然后两边加 解：由题意

，

即 ．

在一周期 上符合条件的角为 ，

∴定义域为 ．

小结：解题时注意结合正弦曲线，而由于正弦函数的周期性，只需先在一个周期上求范围，这个周期的长度为

，并非一定取

，而应该是否得到一个完整区间为标准，如本题若在

上求

范围则分为两段 和 ，不如在 上是完整的一段．

例2．求函数 的定义域。

分析：上述函数从形式上看是一个较为复杂的复合函数，它是由三角函数、二次函数、对数函数复合而成。求定义域时，应分清脉络，逐一分析，综合得出结论。

解：欲求函数定义域，则由

即 也即

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