高一三角函数《4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质》教案(4)

（2）由 （ ）

又∵ ，∴

∴定义域为 （ ），值域为 ．

（3）由 （ ），又由

∴

∴定义域为 （ ），值域为 ．

指出：求值域应注意用到 或 有界性的条件． 的集合：

【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时

（1） ， ； （2） ， ；

（3） （4） ．

解：（1）当 ，即 （ ）时， 取得最大值

∴函数的最大值为2，取最大值时 的集合为 ．

（2）当

．

时，即 （ ）时， 取得最大值

∴函数的最大值为1，取最大值时 的集合为 ．

（3）若 ， ，此时函数为常数函数．

若 时， ，

∴ 时，即 （ ）时，函数取最大值

∴ 时函数的最大值为 ，取最大值时 的集合为 ．

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（4）若 ，则当 时，函数取得最大值 ．

若 ，则 ，此时函数为常数函数．

若 ∴当

，当 时，函数取得最大值

，取得最大值时

． 的集合为

时，函数取得最大值

；当 时，函数取得最大值 ，取得最大值时 的集合为

，当 时，函数无最大值．

或

的系数进行讨论．

指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对 思考：此例若改为求最小值，结果如何？ 【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？

（1） ； （2） ．

解：（1）由 ，

∴当 时，式子有意义．

（2）由即 ∴当

时，式子有意义．

，

4．演练反馈（投影）

（1）函数 ， 的简图是（ ）

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（2）函数

的最大值和最小值分别为（ ）

A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4

（3）函数 的最小值是（ ）

A． B．－2 C．

与

D．

的取值范围应为（ ）

（4）如果 同时有意义，则

A． B． C． D． 或

（5） 与 都是增函数的区间是（ ）

A． ， B． ，

C． ， D． ，

（6）函数 的定义域________，值域________， 时 的集合为_________．

参考答案：1．B 2．B 3．A 4．C 5．D

6．

5．总结提炼

； ；

（1） ， 的定义域均为 ．

（2） 、 的值域都是

（3）有界性：

集合为无限集．

（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的

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（5）正负敬意及零点，从图上一目了然． （6）单调区间也可以从图上看出． （五）板书设计

1．定义域 2．值域 例2 3．最值 例3 4．正负区间 课堂练习 5．零点 例1 课后思考题：求函数 的最大值和最小值及取最值时的 集合

提示：

教学设计示例

4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）

（一）教学具准备 直尺、投影仪． （二）教学目标

1．理解 ， 的周期性概念，会求周期．

2．初步掌握用定义证明（三）教学过程 1．设置情境

的周期为 的一般格式．

自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等．数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角

的终边每转一周又会与原来的位置重合，故

， 的值也具有周而复始的变化规律．为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性（板书课题） 2．探索研究

（1）周期函数的定义

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引导学生观察下列图表及正弦曲线

0 0 1 0 －1 1 0 －1 0 0

正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．

联想诱导公式

这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：

，若令 则 ，由

对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，那么函数

，使得当 取定义域内的每一个值时，都有

叫做这个函数的周期．

叫做周期函数，非零常数 ，

如 ， ，?及 ?都是正弦函数的周期．

注意：周期函数定义中

对定义域中的每一个值时都成立．

有两点须重视，一是 是常数且不为零；二是等式必须

师：请同学们思考下列问题：①对于函数是正弦函数

的周期．

， 有 能否说

生：不能说 是正弦函数 的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等

式 成立，所以不符合周期函数的定义．

② 是周期函数吗？为什么

生：若是周期函数，则有非零常数

，∴

而

不是周期函数．

，使 ，即 ，化简得

不存在，因

（不非零），或 （不是常数），故满足非零常数

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