动量和机械能竞赛辅导授课版1

动量和机械能

【基本知识】

一． 动量和动量定理

1．冲量

2．质点的动量和动量定理

3．质点系的动量定理：作用在质点系上的外力在一段时间内的冲量等于质点系总动量的增量。

说明：⑴质点系的内力对总动量的变化无贡献

⑵质点系的动量定理适用于任意多个质点组成的质点系，并且仅

在惯性系中成立。 【例题１】（见《学习的艺术》课时３例题５）

【例题２】长度为L,质量为m的柔软的绳子盘放在水平面上，用手将绳子的一端以恒定的速率V向上提起，求当提起高度为x时手的提力。

〖分析〗整个绳子可以看成有很多质点组成，对此质点系，共受到三个外力：重力mg，桌面支持力N，手提力F，其中N和F是变力，但是只要所考察的过程时间取得足够短，则此过程中这两力可以看成恒力。

在提起高度为x时刻，系统的动量为

xP=mV

L

在此后足够短的时间△t内，提起的高度变为x+V△t，这时系统的动量

(x+V?t)V 变为：P=mLm2'P－P=V?t?(F?N?mg)?t根据系统的动量定理有：

L

mF?N?mg?V2

L

F?m2V?(mg?N)LN＝剩余在桌面上的部分绳子的重力m2xV?mgLL

故有：F?式中第二项为提起部分的重力，第一项为系统动量增加所需要的附加力。

〖练习１〗用光滑的细条做正方形卷轴窗帘，面积为l×l＝1.5×1.5米２，质量为m＝3kg,沿着墙壁悬挂在屋檐板下，将窗帘的最下变抬起与上边缘对其，使之对折起来，然后让它落下，如图所示，求出作用于屋檐板上的力F随时间t变化的函数关系。

〖分析〗：设想窗帘下落过程中每一小段窗帘到应到最低位置后它留到那里不动，速度为零，作用于屋檐板上的力F应等于t时刻原先右边这段窗帘OA的重力和在t~t+?t这段时间内落下的一微段窗帘AB所产生的冲击力f的和。 〖解答〗：令t时刻C端下落h,设OA=x,则AB=?x,OA段的质量mx=Mx/l, AB段的质量?m=M?x/l,AB段落到最低点前一瞬间的速度V1=gt, 落到最低点后一瞬间的速度V2=0，由于?t?0，所以可以忽略重力的冲量，则有：

?mMgtMgt?xV1??x?? ?tl?tl?t?x上式中，是窗帘右边部分的长度的增长率，考虑到窗帘左端C下落h时，窗帘右边

?t?xV?，式中V为窗帘左端C下落h时的速度，就是前面的V1,只增长了h/2,因此

?t2?x1故?gt。 ?t2f?Mgt1Mg22gt?t 由此可得：f?l22l由于OA段长度x=lhl112????gt, 22222

Mgl12所以Gx?(?gt)

l24

因而O点受到的力 213gt F＝Gx＋f?Mg(?)24l

由于C到最低点的时间为2l?0.533秒g代入数据后的F~t的函数关系为：F=?14.7+240.1t2(牛)29.4(牛)0?t?0.533st?0.533s

〖练习2〗一根均匀柔软的链条悬挂在天花板上，且下端正好接触地面。若松开悬点，让链条

自由落下，试证明：在下落过程中，链条对地面的作用力等于已经落在地面上的那段链条的重力的三倍。 〖〗：链条柔软即已经落地的那段与正在着地的那段及正在下落的链条之间无作用力，所以链条对地面的作用力等于已经落地的那段链条的重力加上正在着地的那段链条的冲力，而与正在下落的那段链条无关。

〖解答〗：设链条的线密度为?，当有长度为l的链条落地时，落地部分的重力为mg ,取将要着地的链条微元?m，其速度为：V?2gl。

设在时间?t内速度由V?0，不计重力，则冲力为?P?m?V?t?V?V??V2?t?t?t而mg＝?lgF＝故总的作用力为F?F1?F2??lg??V2?3?lg?3mg证毕。

〖练习3〗如图所示，定滑轮两边分别悬挂质量为2m和m的重物，从静止开始运动3s后，2m的重物将触地且无反弹，试求从2m的重物第一次触地后， ⑴经过多长时间，2m的重物将第二次触地？ ⑵经过多长时间系统停止运动？ 〖分析与解答〗：⑴对系统而言，其加速度为

2mg?mgga??

3m3

2m物体第一次触地时的速度：V1＝at=10m/s

此后m继续作竖直上抛运动，经过t1＝2V1/g=2s又返回原来位置。速度V1=10m/s，方向向下。此后绳子张紧，忽略重力的冲量，有： 对m：－Tt=mV2－mV1 对2m：Tt=2 mV2

即：再经过t2?2V2?2s，2m的重物将第二次触地。 a所求时间为T=t1＋t2＝4s

⑵：2m的物体第二次触地时的速度为V2＝10/3m/s，类同（1）可得经过4/3s后它第三次触地，触地时的速度为V3＝10/9m/s，再经4/9s第四次触地，所以有：

11T=T1+T2+T3+…＝ 4(1???.........)?6s233

二．动量守恒定律 (一) 动量守恒定律

1. 内容：若系统所受的外力之和为零，则系统的总动量守恒 2. 条件：

3. “守恒”的含义：系统内物体在发生相互作用(动量传递)过程中，系统的总动量始终不变。

4. “四性”原则:⑴系统性；⑵矢量性；⑶同一性；⑷同时性。 5. 常见的三种守恒情形：⑴整体守恒；⑵近似守恒；⑶局部守恒。 （二）反冲与火箭原理

1. 反冲：是物体通过分离排出部分物质，而使自身获得加速的现象。

2. 反冲与碰撞的不同：后者通常是伴随着机械能向其它形式的能的转化（弹性碰撞除外）；而前者是其它形式的能向机械能转化，也就是说，反冲后系统的机械能总是增加的。反冲是作用力与反作用力都做正功的典型事例。

3. 火箭原理：反冲。火箭在自由空间连续喷射高速气流时，喷出的气体具有很大的动量，火箭也就获得数值相等的向前的动量，即使喷出气流的对地速度方向与火箭的运动方向一致时，火箭也能向前加速。 (三)碰撞

1. 概念：系统内物体通过相互作用，而使各自的动量发生明显的变化，一般不考虑碰撞过程中物体位置的变化。

2. 分类：弹性碰撞： 一般碰撞： 完全非弹性碰撞：

3. 恢复系数：①e＝V2-V1=靠近速度

0102②只由两个碰撞物体的材料决定

③0<ｅ<1

V-V分离速度【例题分析】

【例题1】一段凹槽A倒扣在水平木板C上，槽

l内有一小物块B，它到槽两内侧的距离均为 2，如图所示.木板位于光滑水平的桌面上，槽与木板间的摩擦不计，小物块与木板间的动摩擦因数为μ.A、B、C三者质量相等，原来都静止，现使槽A以大小为V0的初速向右运动，已知V0＜2?gl.当A和B发生碰撞时，两者速度互换.

(1)从A、B发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间内，木板C

(2)在A、B刚要发生第四次碰撞时，A、B、C三者速度的大小.

V0 V0 第一次碰撞，在A左壁 V1 第一次BC共速 V1 V1 V1

V2 V1 V2

V2 V2 V2 V3

第二次碰撞，在A右壁 第二次BC共速, V2＜V1 V1 第三次碰撞，在A左壁 V3 第三次BC共速，V3＞V2

第四次碰撞，在A右壁

第一次碰撞在A左壁

第二次碰撞在A右壁

第三次碰撞在A左壁

第四次碰撞在A右壁