广东（10套）2012年中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：(4)

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??k+b=45?3k+b=42，解得??k=?6?b=60。

∴直线l的解析式是：y=﹣6x+60。 （2）由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得x≤

∴警车最远的距离可以到：60?25325312。

=250千米。

?【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据直线l的解析式是y=kx+b，将（3，42），（1，54）代入求出即可。

（2）利用y=﹣6x+60≥10，求出x的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。

7. （2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1?x2=q．

（2）已知抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d取得最小值，并求出最小值． 【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p﹣4q≥0，

∴x1?x2??ba=?p，x1?x2?22

22

ca=q。

（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

设抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。

∵d=|x1﹣x2|，

∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4 x1?x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。 ∴当p=2时，d 2的最小值是4。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。

【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】

（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数

关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。

2

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8. （2012广东汕头9分）如图，直线y=2x﹣6与反比例函数y=（4，2），与x轴交于点B． （1）求k的值及点B的坐标；

（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

kx?x>0?的图象交于点A

【答案】解：（1）∵点A（4，2）在反比例函数y=∴把（4，2）代入反比例函数y=kxkx?x>0?的图象上，

，得k=8。

把y=0代入y=2x﹣6中，可得x=3。 ∴B点坐标是（3，0）。 （2）存在。

假设存在，设C点坐标是（a，0），则

2

∵AB=AC，∴?4?a?+?2?0?=?4?3?+?2?0?，即（4﹣a）+4=5。

2222解得a=5或a=3（此点与B重合，舍去）。 ∴点C的坐标是（5，0）。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。

【分析】（1）先把（4，2）代入反比例函数解析式，易求k，再把y=0代入一次函数解析式可求B点坐标。

（2）假设存在，设C点坐标是（a，0），然后利用勾股定理可得

?4?a?2+?2?0?=2?4?3?2+?2?0? ，

2解方程，即得a=3或a=5，其中a=3和B点重合，舍去，故C点坐标可求。

9. （2012广东深圳8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种 生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：

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（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？

（2）在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？

【答案】解：（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，

?40?2x?3x ??x?0根据题意得： ?， 解得：8≤x≤10。

40?2x?0??5000x?2000x?2400?40?2x??118000?∵x是整数，从8到10共有3个正整数，∴有3种进货方案： 方案一：购进电视机8台，洗衣机是8台，空调是24台； 方案二：购进电视机9台，洗衣机是9台，空调是22台； 方案三：购进电视机10台，洗衣机是10台，空调是20台；

（2）三种电器在活动期间全部售出的金额y=5500x+2160x+2700（40－2x），

即y=2260x+10800。

∵y=2260x+10800是单调递增函数，∴当x最大时，y的值最大。 ∵x的最大值是10，∴y的最大值是：2260×10+10800=33400（元）。 ∵现金每购1000元送50元家电消费券一张， ∴33400元，可以送33张家电消费券。

【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍，且x以及40-2x都是非负整数，即可确定x的范围，从而确定进货方案。

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（2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x的函数，根据函数的性质，

即可确定y的最大值，从而确定购物卷的张数。

10. （2012广东深圳9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．

(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;[来源:Z&xx&k.Com]

(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？ 请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1）。

又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=

－1。

∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（x＋4）（x－1），即y=

－x2－3x＋4。

（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

由题意得：?k?b?0 ? ??2k?b?6 ，解得：?k??2 ? ?b?2。

∴直线BC的解析式为y=－2x+2． ∴点E的坐标为（0，2）。 ∴

AE?AO?OE22 ?4?222 ?25，CE???2?0?2??6?2??25。

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∴AE=CE。 （3）相似。理由如下：

设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则 ?∴直线AD的解析式为y=x+4。

联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：?2? x????3。 ?10? y??3?y?x?4 ? ?y??2x?2??4k1?b1?0? b1?4，解得：??k1?1? b1?4。

，解得：

∴点F的坐标为（?， 32103 ）。

则

55?2??10?? ?1??0?，AF?????333????22BF?102?2??10?。 ?? ???4????1 ?0??333????2222又∵AB=5，BC?∴

BFAB?53， AB BC? ??2?1???6?0? ?3 5， 53。∴

BFAB?AB BC。

又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。 ∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。

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