大学物理第三版答案(9)

来源：网络收集时间：2026-09-07

导读：解: 史瓦西半径 rs?2GMc2 24地球： M?6?10kg 2?6.7?10?11?6?1024?3rs??8.9?10m82(3?10)则： 30M?2?10kg 太阳： 2?6.7?10?11?2?10303rs??3?1082(3?10)则： m 3-26 典型中子星的质量与太阳质量M⊙＝231030kg同数量

解: 史瓦西半径

rs?2GMc2

24地球： M?6?10kg

2?6.7?10?11?6?1024?3rs??8.9?10m82(3?10)则：

30M?2?10kg 太阳：

2?6.7?10?11?2?10303rs??3?1082(3?10)则： m

3-26 典型中子星的质量与太阳质量M⊙＝231030kg同数量级，半

径约为10km．若进一步坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10-15cm)，质量是什么数量级?

3r?3?10sm 解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，?15r?10cm ?10?17m (2) s由

rs?2GMc2

rsc210?17?(3?108)29M???6.7?10kg 2G2?6.7?10?11得

3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．

解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．

等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．

广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同．广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．

习题四

4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：

(1)拍皮球时球的运动； (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很短)．

题4-1图

解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长??等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用

d2?2????0 2dt

描述时，其所作的运动就是谐振动．

(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力．

(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?，如题4-1图(b)所

?S→0，所以回复力为?mg?.式中R负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附

示．题中所述，?S＜＜R，故??近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有

d2?mR2??mg? dt令?2?g，则有 Rd2?2???0 2dt4-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．

题4-2图

解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F?F1?F2，设串联弹簧的等效倔强系数为K串等效位移为x，则有

F??k串xF1??k1x1F2??k2x2

又有 x?x1?x2

x?FFF?1?2 k串k1k2所以串联弹簧的等效倔强系数为

k串?k1k2 k1?k2即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为

T?2???2?m(k1?k2)m?2? k串k1k2(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F?F1?F2，即

x?x1?x2，设并联弹簧的倔强系数为k并，则有

k并x?k1x1?k2x2 故 k并?k1?k2 同上理，其振动周期为

T??2?m k1?k24-3 如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为?，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．

题4-3图

解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有

d2xmgsin??T1?m2 ①

dtT1R?T2R?I? ②

d2x 2?R? T2?k(x0?x)

dt ③

式中x0?mgsin?/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有

Id2x(mR?)2??kxR

RdtkR22令 ??2

mR?I则有

d2x??2x?0 2dt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为

mR2?Im?I/R2T??2?(?2?)

?KkR24-4 质量为10?10?3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按

2?x?0.1cos(8??)(SI)的规律作谐振动，求：

32?(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?

(3)t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；

解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：

1s,?0?2?/3 ?4又 vm??A?0.8?m?s?1 ?2.51m?s?1

A?0.1m,??8?,?T??2?am??2A?63.2m?s?2

(2) Fm?am?0.63N

12mvm?3.16?10?2J 21Ep?Ek?E?1.58?10?2J

2E?当Ek?Ep时，有E?2Ep，

112222∴ x??A??m

220 (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?

即 kx2??(kA2)

124-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0时质点的状态分别是：

(1)x0??A；

(2)过平衡位置向正向运动；

A处向负向运动； 2A(4)过x??处向正向运动．

2(3)过x?试求出相应的初位相，并写出振动方程．解：因为 ??x0?Acos?0

v???Asin?0?0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位

相．故有

?1???2???3??332?4?5?42?t??) T2?3x?Acos(t??)

T22??x?Acos(t?)

T32?5x?Acos(t??)

T4x?Acos(4-6 一质量为10?10?3kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，

当t?0时位移为?24cm．求：

(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (3)在x?12cm处物体的总能量．

解：由题已知 A?24?10?2m,T?4.0s ∴ ??又，t?0时，x0??A,??0?0 故振动方程为

x?24?10?2cos(0.5?t)m

2??0.5?Trad?s?1

(1)将t?0.5s代入得

x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m

F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2?3?2?3

方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，

t?t时 x0??A?,且v?0,故?t? 23

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