第八章空间解析几何与向量代数知识点，题库与答案(6)

（ⅱ）求直线与平面的交点

z?4与平面2x?y?z?6?0的交点。 2z?4?t 解：（1）令x?2?y?3?2例25、求直线x?2?y?3? 代入平面得 2(t?2)?(t?3)?(2t?4)?6?0，t??1 所求交点为 (1,2,2)

（ⅲ）已知点在已知平面的投影计算。

例26 求点M(5,0,?3)在平面?:x?y?2z?1?0上的投影。 解：过M(5,0,?3)且与?:x?y?2z?1?0垂直的直线方程为

x?5yz?3???t 11?2代入得t?5?t?2(?2t?3)?1?0?t??2

x?3,y??2,z?1，

故在平面?:x?y?2z?1?0上的投影为(3,?2,1) （ⅳ）涉及线面关系的综合计算。 例23 (1)、求直线??x?y?3z?0与平面x?y?z?1?0的夹角.

?x?y?z?0解：设平面与直线的夹角为?，直线的方向向量为v?(1,1,3)?(1,?1,?1)?(2,4,?2)，平面的法向量n?(1,?1,?1)，sin??|v?n|=0，所以夹角为0。

|v|?|n|（2)直线?; 解: 直线?直线

?x?2y?z?7x?1y?3z??与直线的位置关系 2?1?1?2x?y?z?7??x?2y?z?7的方向向量为v1?(1,2,?1)?(?2,1,?1)?(3,1,5)

??2x?y?z?7x?1y?3z??的方向向量为v2?(2,?1,?1) 2?1?1v1?v2?0，所以两直线垂直。

（3)直线

x?2y?2z?3??和平面x+y+z=3的位置关系 31?4x?2y?2z?3??在31?4解：直线的方向向量（3,1，-4）与平面的法向量（1,1,1）垂直，从而知该直线平行于平面或在平面内，有因为直线上一点（2，-2,3）在平面内，所以知直线平面x+y+z=3内。

（4）、求点A(3,-1,2)到直线??x?y?z?1?0的距离.

?2x?y?z?4?0解：直线的方向向量为v?(1,1,?1)?(2,?1,1)?(0,?3,?3)，求直线上的一点（可令y=0）

?x?z?1?0?x?1,所以直线过点B（1，0，2）,点AB之间的距离为5,向量AB与v???2x?z?4?0z?2??的夹角?的余弦为

cos??110,sin??310，所以A点到直线的距离为

d?5sin??

32 2

(6)、求两直线L1：

x?1yzxyz?2???与直线L2：?的最短距离. 0?1?16?30解：已知两直线的方向向量为S1?{0,?1,?1},S2?{6,?3,0}，故垂直于两方向向量的向 量n可取为n?S1?S2??3i?6j?6k，又点(1,0,0)在直线L1上

?过直线L1且平行于L2的平面为?3(x?1)?6y?6z?0，即x?2y?2z?1?0，又点

(0,0,?2)在直线L2上，该点到平面x?2y?2z?1?0的距离

d?

31?2?2222?1为所求两直线间的最短距离。

（7）求两平行平面19x?4y?8z?21?0，19x?4y?8z?42?0间的距离：； 解：（1）将所给的方程化为：

1948x?y?z?1?0 2121211948?x?y?z?2?0 212121?所以两平面间的距离为：2-1=1。

（8）求两平面x?y?11?0，3x?8?0所成的角；

解：（1）设?1：x?y?11?0，?2：3x?8?0

?(1,?2)?? cos|?3|2?3??2? ?(?1,?2)?

42

（9）.求下列各对直线间的角 ①

x?1y?2z?5xy?3z?1??与??. 362296②??3x?4y?2z?0?4x?y?6z?2?0与?.

2x?y?2z?0y?3z?2?0??|x1x2?y1y2?z1z2|222x12?y12?z12x2?y2?z2解 ①cos???|6?54?12|9?36?44?81?36?72 77∴ ??arccos72. 77?3x?4y?2z?0xyz的对称式方程为:??,?10211?2x?y?2z?0② 直线

4

z??4x?y?6z?2?0xy?63的对称式方程为：???3124?y?3z?2?0|30?24?44|100?4?1219?144?1698. 195cos???9898?

13?15195∴ ??arccos

例24、.分别在下列条件下确定l,m,n的值：

（1）使(l?3)x?(m?1)y?(n?3)z?8?0和(m?3)x?(n?9)y?(l?3)z?16?0表示同一平面；

（2）使2x?my?3z?5?0与lx?6y?6z?2?0表示两平行平面；

（3）使lx?y?3z?1?0与7x?2y?z?0表示两互相垂直的平面。 解：（1）欲使所给的两方程表示同一平面，则：

l?3m?1n?38??? m?3n?9l?3?16即：

?m?2l?3?0??n?2m?7?0 ?l?2n?9?0?从而：l?71337，m?，n?。 9992m3?? l?6?6（2）欲使所给的两方程表示两平行平面，则：

所以：l??4，m?3。

（3）欲使所给的两方程表示两垂直平面，则：

7l?2?3?0 所以： l??1。 7例25、求关于直线??x?y?4z?12?0与点P(2,0,?1)对称的点。

?2x?y?2z?3?0解：已知直线的方向矢量为：?1,?1,?4???2,1,?2???6,?6,3?，或为?2,?2,1?，求直线上的一

?x??5x?y?12?0?x?5y?7z???y?7）,从而直线方程为?? 点（令z=0, ?2x?y?3?02?21??z?0??过P垂直于已知直线的平面为：2(x?2)?2y?(z?1)?0，即2x?2y?z?3?0

?x?2t?5?x?5y?7z令???t??y??2t?7代入平面方程2x?2y?z?3?0解出t=

2?21?z?t?该平面与已知直线的交点为(1,1,3)，所以若令P?(x,y,z)为P的对称点，则：

1?2?x0?y?1?z，1?，3? 222? x?0,y?2,z?7， 即P?(0,2,7)。

（八）用平面束求解题；求过直线??A1x?B1y?C1z?D1?0的平面可设为

?A2x?B2y?C2z?D2?0(A1x?B1y?C1z?D1)??(A2x?B2y?C2z?D2)?0

例26、.求通过平面4x?y?3z?1?0和x?5y?z?2?0的交线且满足下列条件之一的平面：

（1）通过原点； （2）与y轴平行； （3）与平面2x?y?5z?3?0垂直。

解：（1）设所求的平面为：(4x?y?3z?1)??(x?5y?z?2)?0 欲使平面通过原点，则须：?1?2??0，即??故所求的平面方程为：

1， 22(4x?y?3z?1)?(x?5y?z?2)?0

即：9x?3y?5z?0。 （2）同（1）中所设，可求出??1。 5故所求的平面方程为：5(4x?y?3z?1)?(x?5y?z?2)?0 即：21x?14z?3?0。

（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面2x?y?5z?3?0垂直，则须：

2(4??)?(?1?5?)?5(3??)?0

从而：??3，

所以所求平面方程为：7x?14y?5?0。