第八章空间解析几何与向量代数知识点，题库与答案(2)

柱面??平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面? 定曲线C叫做柱面的

准线? 动直线L叫做柱面的母线? ??

例如方程x2?y2?R2在空间直角坐标系中表示圆柱面? 它的母线平行于z轴? 它的准线是xOy 面上的圆x2?y2?R2? ? 一般地? 只含x、y而缺z的方程F(x? y)?0? 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面? 其准线是xOy 面上的曲线C?? F(x? y)?0? ?

类似地? 只含x、z而缺y的方程G(x? z)?0和只含y、z而缺x的方程H(y? z)?0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面? ④二次曲面

三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面? 把平面叫做一次曲面? (1)椭圆锥面

2y2 由方程x2?2?z2所表示的曲面称为椭圆锥面?

ab(2)椭球面

2y2z2x 由方程2?2?2?1所表示的曲面称为椭球面? abc(3)单叶双曲面

2y22 由方程x2?2?z2?1所表示的曲面称为单叶双曲面?

abc(4)双叶双曲面

2y2z2x 由方程2?2?2?1所表示的曲面称为双叶双曲面? abc(5)椭圆抛物面

2y2x由方程2?2?z所表示的曲面称为椭圆抛物面? ab(6)双曲抛物面?

2y2x 由方程2?2?z所表示的曲面称为双曲抛物面? 双曲抛物面又称马鞍面? ab

22y2y2方程 x2?2?1? x2?2?1? x2?ay?

abab依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面?

4 空间曲线及其方程

①空间曲线的一般方程

设 F(x? y? z)?0和G(x? y? z)?0是两个曲面方程? 它们的交线为C 所以C应满足方程组

?F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0 ?上述方程组叫做空间曲线C的一般方程? ②空间曲线的参数方程

?x?x(t)?空间曲线C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数??? ?y?y(t)?……..(2)

??z?z(t)当给定t?t1时? 就得到C上的一个点(x1? y1? z1)? 随着t的变动便得曲线C上的全部点? 方程

组(2)叫做空间曲线的参数方程? ③空间曲线在坐标面上的投影

以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面? 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy 面上的投影曲线? 或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影)?

?F(x,y,z)?0 设空间曲线C的一般方程为??

?G(x,y,z)?0 设方程组消去变量z后所得的方程

H(x? y)?0 ? 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面? 曲线C在xOy 面上的投影曲线的方程为???

?H(x,y)?0 ?z?0?5 平面及其方程

①平面的点法式方程

法线向量? 如果一非零向量垂直于一平面? 这向量就叫做该平面的法线向量? 已知平面?上的一点M0(x0? y0? z0)及它的一个法线向量n ?(A? B? C)， 平面的点法式方程?为：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z??z0)?0 ②平面的一般方程 平面的一般方程为：Ax?By?Cz?D?0， 其中x? y? z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标? 即 n?(A? B? C)? 特殊位置的平面方程： D?0? 平面过原点?

n?(0? B? C)? 法线向量垂直于x轴? 平面平行于x轴? n?(A? 0? C)? 法线向量垂直于y轴? 平面平行于y轴??n?(A? B? 0)? 法线向量垂直于z轴? 平面平行于z轴??

n?(0? 0? C)? 法线向量垂直于x轴和y轴? 平面平行于xOy平面??n?(A? 0? 0)? 法线向量垂直于y轴和z轴? 平面平行于yOz平面??n?(0? B? 0)? 法线向量垂直于x轴和z轴? 平面平行于zOx平面??求这平面的方程

y③平面的截距式方程为： x??z?1?(其中a?0? b?0? c?0)?该平面与x、y、z轴的交点依次

abc为P(a? 0? 0)、Q(0? b? 0)、R(0? 0? c)三点? 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距?

x-x1④平面的三点式方程为： x2?x1y-y1y2?y1y3?y1z-z1z2?z1=0其中M(x1,y1,z1)，N(x2,y2,z2) z3?z1 x3?x1P(x3,y3,z3)是平面上的三点。

⑤两平面的夹角

两平面的夹角??两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角?

设平面?1和?2的法线向量分别为n1?(A1? B1? C1)和n2?(A2? B2? C2)? 那么平面?1和?2的夹角? 应是(n1, n2)和(?n1, n2)???(n1, n2)两者中的锐角? cos??|cos(n1, n2)|?^^^^|A1A2?B1B2?C1C2|222A12?B12?C12?A2?B2?C2

平面?1和?2垂直相当于A1 A2 ?B1B2 ?C1C2?0? 也即n1垂直于n2 平面? 1和? 2平行或重合相当于

A1B1C1???也即n1平行于n2 A2B2C2

设P0(x0? y0? z0)是平面Ax?By?Cz?D?0外一点? P0到这平面的距离公式为?

d?

|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222

6 空间直线及其方程 ①空间直线的一般方程

空间直线L可以看作是两个平面?1和?2的交线??

如果两个相交平面?1和?2的方程分别为A1x?B1y?C1z?D1?0和A2x?B2y?C2z?D2?0? 那么直线L满足方程组

?A1x?B1y?C1z?D1?0?Ax?By?Cz?D?0? (1)

222?2上述方程组叫做空间直线的一般方程?

②空间直线的对称式方程与参数方程?

方向向量???如果一个非零向量平行于一条已知直线? 这个向量就叫做这条直线的方向向量? 容易知道? 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量?

已知直线L通过点M0(x0? y0? x0)? 且直线的方向向量为s???(m? n? p)? 则直线L的方程为：x?x0y?y0z?z0? 叫做直线的对称式方程或点向式方程? ??mnp 注? 当m? n? p中有一个为零? 例如m?0? 而n? p?0时? 这方程组应理解为

?x?x0? ?y?y0z?z0?

??p?n当m? n? p中有两个为零? 例如m?n?0? 而p?0时? 这方程组应理解为

?x?x0?0 ??

y?y?00? ? 设

x?x0y?y0z?z0???t? 得方程组 mnp?x?x0?mt? ?y?y0?nt?

??z?z0?pt此方程组就是直线L的参数方程?

③两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角? 设直线L1和L2的方向向量分别为s1?(m1? n1? p1)和s2?(m2? n2? p2)? 那么L1和L2的夹角?就是(s1, s2)和(?s1, s2)???(s1, s2)两者中的锐角? 因此cos??|cos(s1, s2)|

cos??|cos(s1, s2)|?^^^^^|m1m2?n1n2?p1p2|222m1?n1?p1?222m2?n2?p2

设有两直线L1?

x?x1y?y1z?z1x?x2y?y2z?z2? L2?? 则 ????m1n1p1m2n2p2 L 1?L 2?m1m2?n1n2?p1p2?0?

mnp l1IIL2?1?1?1

m2n2p2④直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时? 直线和它在平面上的投影直线的夹角?称为直线与平面的夹角? 当直线与平面垂直时? 规定直线与平面的夹角为

?? 2设直线的方向向量s?(m? n? p)? 平面的法线向量为n?(A? B? C)? 直线与平面的夹角为??? 那么

??|??(s ^, n)|? 因此sin??|cos(s , n)|

^2sin??|Am?Bn?Cp|? ?

A2?B2?C2?m2?n2?p2 因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行? 所以? 直线与平面垂直相当于 A?B?C?

mnp 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直? 所以? 直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am?Bn?Cp?0? 设直线L的方向向量为(m? n? p)? 平面?的法线向量为(A? B? C)?? 则 L????A?B?C? ?

mnp L/ / ??? Am?Bn?Cp?0?

三、疑难点解析

（1）数量积、向量积、混合积易混怎么办？

答：数量积是一个数量无方向、向量积是个向量有方向，算出来的向量垂直于两向量 构成的平面，且满足右手法则。混合积也是个常数。

数量积：a·b?|a| |b| cos? ? ?axbx?ayby?azbz ? 向量积c?? a?b??， |c|?|a …… 此处隐藏：2834字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……