第八章空间解析几何与向量代数知识点，题库与答案(4)

x2?y2?z2?49

（3）球面的球心坐标a?2?4?3?15?3?3,b???1,c??1，球的半径222R?1(4?2)2?(1?3)2?(5?3)2?21，所以球面方程为： 2(x?3)2?(y?1)2?(z?1)2?21

（4）设所求的球面方程为：x2?y2?z2?2gx?2hy?2kz?l?0 因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?4)，所以

?l?0?16?8g?0? （1） ??10?2g?6h?0??16?8k?0解（1）有

?l?0?h??1? ??g??2??k?2?所求的球面方程为x2?y2?z2?4x?2y?4z?0

（5）球面的半径为C到平面?：2x?y?3z?11?0的距离，它为：

R?2?3?5?6?1114?2814?214，

所以，要求的球面的方程为：

(x?3)2?(y?5)2?(z?2)2?56.

即：x?y?z?6x?10y?4z?18?0

例17、（1)将xOy坐标面上的y?2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________.

2)将xOy坐标面上的x?y?2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.

3)将xOy坐标面上的4x?9y?36绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方

22222222程为_____________，曲面名称为_____________________.

4）在平面解析几何中y?x2表示____________图形。在空间解析几何中

y?x2表示______________图形.

解：求旋转曲面方程的口诀：“绕谁（如x）旋转谁不变，另外一个字母变成

?平方和（如y2?z2）”

（1) y2?z2?2x,旋转抛物面

（2)x2?y2?z2?2x,球面

（3)绕x轴：4x2?9y2?9z2?36旋转双叶双曲面

绕y轴：4x2?4z2?9y2?36旋转单叶双曲面

（4）、抛物线，抛物柱面

5）画出下列方程所表示的曲面 (1)z?4(x?y)

解：

222

2

(2)z?4(x?y) 解

2

?x2y2?1??例18、（1）、指出方程组?4在平面解析几何中表示____________图形，在空间= 9?y?3?析几何中表示______________图形.

（2）、求球面x2?y2?z2?9与平面x?z?1的交线在xOy面上的投影方程. （3）、求上半球0?z?a2?x2?y2与圆柱体x2?y2?ax(a?0)的公共部分在

xOy面及xOz面上的投影.

?y2?z2?2x?0（4）、求曲线?在xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么

z?3?曲线？

解：（1）、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。

?2x2?2x?y2?8 （2）、?

z?0?a2a2?2(x?)?y?()?（3）、在xoy面的投影为：?22，

??z?0?x2?z2?a2在xOz面的投影为（？）：?

y?0?

(4)、先求投影柱面方程，答案：原曲线在xoy面上的投影曲线方程为

?y2?2x?9?0。原曲线是由旋转抛物面y2?z2?2x?0被z?3平面所截的抛物线。 ?z?0?

例19、已知柱面的准线为：

?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2?0母线平行于x轴，求该柱面方程； 解：从方程

?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2?0中消去x，得到：(z?y?3)?(y?3)?(z?2)?25

22222即：y?z?yz?6y?5z?3?0 2此即为要求的柱面方程。

例20、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为xoz面与yoz面，且过点(1,2,6)和(,?1,1)，求这个椭圆抛物面的方程。

解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：

13x2y2??2z a2b2令确定a与b

1?(1,2,6)和(,?1,1)均在该曲面上。

3?有：

4?1??12??a2b2 ?11??2?22?b?9a从而

13616?,? 5b25a236x26y2??2z 所以要求的椭圆抛物面的方程为：55即：18x?3y?5z

（五）求平面方程等相关知识点的各类常见的重要题型（找到平面过的点和平面的法向量） 注意利用两向量的叉乘知识来解决平面的法向量。

例21（1）、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.

解：平面过点为（3,0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行，所以所求平面的法向量为

22n?(3,?7,5),再由平面方程的点法式方程知所求方程为：3x?7y?5z?4?0

（2）、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.

解：因为所求平面平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，所以知道平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，根据向量的叉乘知n?a?b?(1,1,?3)，在由点法式方程知所求平面为：1?(x?1)?1?(y?1)?3(z?1)?0。

（3）、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.

解：所求平面平行于xOz面，所以垂直y轴，所以可以用z轴上的单位向量（0,1,0）为法向量，再由点法式方程知所求平面为：y?5?0 （4）、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.

解：因为平面过两点M(4,0,-2)和N(5,1,7)，所以过向量NM=（1,1，9）,由因为所求平面平行于x轴，所以平面平行于x轴上的单位向量i=（1,0,0），从而n?MN?I?(0,9,?1),再由点法式方程知所求平面方程为：9y?z?2?0

?x?2y?4z?7?0（5）、求过点(2,0,-3)且与直线?垂直的平面方程.

3x?5y?2z?1?0? 解：直线??x?2y?4z?7?0的方向向量可以作为所求平面的法向量，所以

?3x?5y?2z?1?0v?(1,?2,4)?(3,5,?2)?(?16,14,11)，在由平面的点法式方程知所求平面为：

16x?14y?11z?65?0

（6）、求过点(3,1,-2)且通过直线

x?4y?3z??的平面方程. 521

解：因为平面过直线，所以过直线上的点A（4，-3,0），已知过点B(3,1,-2),从而过向量

AB?(?1,4,?2)及直线的方向向量v?(5,2,1),因此平面的法向量可求出

n?AB?v?(8,?9,?22)，再由平面的点法式方程知所求平面为：8x?9y?22z?59?0。

（2，0，?3）（7）、求过点且与直线??2x?2y?4z?7?0,垂直的平面方程。

3x?5y?2z?1?0.??i解：s?2?j?k?24??16(1,?1,?1) 35?2所求平面方程为(x?2)?(y?0)?(z?3)?0 即x?y?z?5?0

（8）、求过点M1(4,1,2)，M2(?3,5,?1)，且垂直于6x?2y?3z?7?0的平面.