第八章空间解析几何与向量代数知识点，题库与答案

第八章：空间解析几何与向量代数

一、重点与难点

1、重点

①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；

④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；

⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）， 两直线的夹角、直线与平面的夹角；

2、难点

①向量积（方向）、混合积（计算）；

②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形； ③空间曲线在坐标面上的投影；

④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；） ⑤平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥直线方程的几种表示方式之间的转化；

二、基本知识

1、向量及其线性运算

①向量的基本概念：

向量? 既有大小? 又有方向的量；

向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量? 有向线段的长度表示向量

的大小? 有向线段的方向表示向量的方向.； 向量的符号? 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB? 向量可用粗体字母

表示? 也可用上加箭头书写体字母表示? 例如? a、r、v、F或a、r、v、F；

向量的模? 向量的大小叫做向量的模? 向量a、a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|? 单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量；

向量的平行? 两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行? 向量a与b

平行? 记作a // b? 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线? 零向量? 模等于0的向量叫做零向量? 记作0或0? 零向量的起点与终点重合? 它的方向可以看作是任意的?

共面向量： 设有k(k?3)个向量? 当把它们的起点放在同一点时? 如果k个终点和公共起点在

一个平面上? 就称这k个向量共面； 两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时? 两个向量之间的不超过?的夹

??????????角称为向量a与b的夹角? 记作(a, b)或(b, a)? 如果向量a与b中有一个是零向量? 规定它们的夹角可以在0与?之间任意取值?；

^^ ②向量的线性运算

向量的加法（三角形法则）：设有两个向量a与b? 平移向量使b的起点与a的终点重合? 此

时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和? 记作a+b? 即c?a+b . ?

平行四边形法则? 向量a与b不平行时? 平移向量使a与b的起点重合? 以a、b为邻边作一

平行四边形? 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a?b?

向量的加法的运算规律?? (1)交换律a?b?b?a? (2)结合律(a?b)?c?a?(b?c)?

负向量? 设a为一向量? 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量? 记为?a? 向量的减法??把向量a与b移到同一起点O? 则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差b?a ?

向量与数的乘法： 向量a与实数?的乘积记作规定?a是一个向量? 它的模|?a|?|?||a|? 它的

方向当?>0时与a相同? 当?<0时与a相反? 当??0时? |?a|?0? 即?a为零向量? 这时它的方向可以是任意的?

运算规律? (1)结合律 ?(?a)??(?a)?(??)a； (2)分配律 (???)a??a??a；?(a?b)??a??b? 向量的单位化? 设a?0? 则向量a是与a同方向的单位向量? 记为ea? ，于是a?|a|ea?

|a|定理1 设向量a ? 0? 那么? 向量b平行于a的充分必要条件是? 存在唯一的实数?? 使 b ?

??a?

③空间直角坐标系

在空间中任意取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k? 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴? 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)? 统称为坐标轴? 它们构成一个空间直角坐标系? 称为Oxyz坐标系?

注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位?

(2)通常把x 轴和y轴配置在水平面上? 而z轴则是铅垂线? (3)数轴的的正向通常符合右手规则??

坐标面? 在空间直角坐标系中? 任意两个坐标轴可以确定一个平面? 这种平面称为坐标面? ? x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面? 另两个坐标面是yOz面和zOx面?

卦限? 三个坐标面把空间分成八个部分? 每一部分叫做卦限? 含有三个正半轴的卦限叫做

第一卦限? 它位于xOy面的上方? 在xOy面的上方? 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限? 在xOy面的下方? 与第一卦限对应的是第五卦限? 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限? 八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示? 向量的坐标分解式? 任给向量r? 对应有点M? 使OM?r? 以OM为对角线、三条坐标轴为

棱作长方体? 有 r?OM?OP?PN?NM?OP?OQ?OR?

????????设 OP?xi? OQ?yj? OR?zk? 则 r?OM?xi?yj?zk?

上式称为向量r的坐标分解式? xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量? 点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系 M?r?OM?xi?yj?zk?(x, y, z)?

有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标? 记作r?(x? y? z)? 向量r?OM称为点M关于原点O的向径? ④利用坐标作向量的线性运算 设a?(ax? ay? az)? b?(bx? by? bz)

??????a?b?(ax?bx? ay?by? az?bz)? a?b?(ax?bx? ay?by? az?bz)? ?a?(?ax? ?ay? ?az)?

利用向量的坐标判断两个向量的平行? 设a?(ax? ay? az)?0? b?(bx? by? bz)? 向量b//a?b??a ?

即b//a?(bx? by? bz)??(ax? ay? az)? 于是

⑤向量的模、方向角、投影?设向量r?(x? y? z)? 作OM?r? 则 向量的模长公式 |r|?x2?y2?z2? 设有点A (x1? y1? z1)、B(x2? y2? z2)?

AB?OB?OA?(x2? y2? z2)?(x1? y1? z1)?(x2?x1? y2?y1? z2?z1)?

A、 B两点间的距离公式为：|AB|?|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2?? 方向角：非零向量r与三条坐标轴的夹角?、?、?称为向量r的方向角? 设r?(x? y? z)? 则 x?|r|cos?? y?|r|cos?? z?|r|cos? ? cos?、cos?、cos? 称为向量r的方向余弦?

?????bxbybz??? axayazy cos??x? cos??? cos??z?

|r||r||r|从而 (cos?, cos?, cos?)?1r?er? cos2??cos2??cos2??1?

|r|投影的性质?

性质1 (a)u?|a|cos ? (即Prjua?|a|cos ?)? 其中?为向量与u轴的夹角? 性质2 (a?b)u?(a)u?(b)u (即Prju(a?b)? Prjua?Prjub)? 性质3 (?a)u??(a)u (即Prju(?a)??Prjua)?

2、数量积、向量积、混合积

①两向量的数量积

数量积? ?对于两个向量a和b??它们的模?|a|、|b|?及它们的夹角? 的

余弦的乘积称为向量a和b的数量积??记作a?b??即

a·b?|a| |b| cos? ??

数量积的性质??

(1)? a·a???|a| 2??

(2) 对于两个非零向量 a、b??如果 a·b??0??则 a?b;

反之??如果a?b??则a·b??0??

如果认为零向量与任何向量都垂直??则a?b???a·b??0?? 两向量夹角的余弦的坐标表示??

设??(a? ^ b)? 则当a?0、b?0时??有?

axbx?ayby?azbz cos??a?b????

22222|a||b|a2?a?ab?b?bxyzxyz数量积的坐标表示??

设a?(ax? ay? az )??b?(bx? by? bz )? 则 a·b?axbx?ayby?azbz ? 数量 …… 此处隐藏：3807字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……