第八章空间解析几何与向量代数知识点，题库与答案(5)

解：法一：，所求平面法向量n?M1M2，且n?n1?{6,?2,3}

ijk?取n?M1M2?n1??74?3?{6,3,?10}

6?23又平面过点M1(4,1,2)，则平面方程为6x?3y?10z?7?0

解法2. 在平面上任取一点M(x,y,z)，则MM1M1M2和n1?{6,?2,3}共面，由三向量

?x?4共面的充要条件得

y?1z?2?243?0，整理得所求平面方程 ?36?7

（9）、求过直线l1??x?2y?z?1?0xyz?平行的平面. ，且与直线l2：?1?12?2x?y?z?2?0解：用平面束。设过直线l1的平面束方程为x?2y?z?1??(2x?y?z?2)?0 因为所求平面与直线l2：?x1yz?平行，则所求平面的法向量(1?2?,??2,1??)与直?12线l2的方向向量(1,-1,2),从而(1?2?)?(??2)?2(1??)?0???5，因此所求平面方程为11x?3y?4z?11?0。

（10）、求通过x轴其与点M?5,4,13?相距8个单位的平面方程。

解：设通过x轴的平面为By?Cz?0.它与点M?5,4,13?相距8个单位，从而

4B?13CB2?C2?8.?48B2?104BC?105C2?0.因此?12B?35C??4B?3C??0.

从而得12B?35C?0或4B?3C?0.于是有B:C?35:12或B:C?3:??4?.

?所求平面为35y?12z?0或3y?4z?0.

(11)求过A(1,1,-2)，B（-2，-2,2），C（1，-1,2）三点的平面方程

（12）、已知直线L1:x?1?的平面方程。

y?2z?3x?2y?1z???，，直线L2:求过L1且平行L20?1211?i?j?k解： n?10?1??1,?3,1? 211在L1上任取一点(1,2,3)，

故所求平面方程为 (x?1)?3(y?2)?(z?3)?0 即x?3y?z?2?0

（13）、求过z轴，且与平面2x?y?5z?0的夹角为

?的平面方程. 3解：平面过z轴，不妨设平面方程为Ax?By?0，则n1?{A,B,0}，且（A,B 不全为0），已知平面的法向量为n2?{2,1,?5}，两平面的夹角为平面的关系有cos?，根据两法向量与两3?3?|n1?n2|?|n1|?|n2|2A?BA2?B2101y?0 3?A1?, B3所以所求的平面方程为：x?3y?0或x?

（六）求直线方程等相关知识点的各类常见的重要题型（找出直线所过的点与直线方向向量）

xy?3z?1??的直线方程. 215xy?3z?1?解：因为所求直线平行于直线?，所以可取所求直线的方向向量为（2,1,5），

215例22（1）、求过点(1,2,3)且平行于直线

又因为过点（1,2,3），由直线的对称式方程知所求直线方程为：

x?1y?2z?3 ??215（2）、求过点(0,2,4)且与两平面x?2z?1,y?3z?2平行的直线方程.

解：所求直线与两平面x?2z?1,y?3z?2平行，所以该直线垂直于这两平面的法向量

n1?(1,0,2),n2?(0,1,?3)，所以也垂直于这两法向量构成的平面，有两向量的叉乘知可去

所求直线的方向向量为v?n1?n2?(?1,3,1)，再由直线的对称式方程知所求直线方程为：

xy?2z?4 ???231

（3）求过M0(?1,0,4)且平行于平面3x?4y?z?10?0又与直线的直线方程。 解：设所求直线方程为

x?1y?3z??相交112x?1yz?4?? mnp?所求直线与已知平面平行，则所求直线的方向向量与已知平面的法向量垂直即有

3m?4n?p?0 （1）

又所求直线与已知直线（相交）共面，在已知直线上任取一点M1(?1,3,0)，则

mn在平面上。三向量(所求直线，已知直线，M0M1)共面，得1p0即10m?4n?3p?0 （2）

由（1）（2），得m:n:p?16:19:28 ?所求直线方程：程.

（4）、求在平面?:x?y?z?1上，且与直线L：?12?0，

3?4x?1yz?4?? 161928?y?1垂直相交的直线方程.

?z??1解：所求直线与已知直线L的交点(1,1,?1)，过交点(1,1,?1)且垂直于已知直线的平面为

x?1?0。

答案：??x?1?0

?x?y?z?1（5）通过点A(?3,0,1)和点B(2,?5,1)的直线；

解：所求直线的方向向量为（5，-5,0） 由直线的对称式方程知所求直线方程为：

（6）通过点M(1?5,3)且与x,y,z三轴分别成60?,45?,120?的直线； 解：欲求的直线的方向矢量为：cos60,cos45,cos120??,x?3yz?1x?3yz?1????，亦即。 5?501?10??????1?221?,??， 22?故由直线的对称式方程知所求直线方程为：

（7）通过点M(1,0,?2)且与两直线

。

x?1y?5z?3。 ??1?12x?1yz?1xy?1z?1???和?垂直的直线； 11?11?10解：欲求直线的方向矢量为：?1,1,?1???1,?1,0????1,?1,?2?，所以，直线方程为：

x?1yz?2??。 112（8）用对称式方程及参数式方程表示直线??x?y?z?1?0,

2x?y?3z?4?0.?解：s?1511?(4,?1,?3)，取 x?0,y?1 得z??

42?13?i?j?k5xy?14 故直线的对称式方程为 ??4?1?3z???x?4t? 直线参数式方程为 ?y??t?1

?5z??3t??4?

（七）利用平面与直线的位置关系找出法向量与方向向量，求平面与直线的夹角、距离、位置关系、直线与平面的交点计算等相关知识点的各类题型

例23、 判别下列各直线之间的位置关系：

y?1z?1?（1）L1:?x?1?与L223?x?1?2t,?:?y?2?t, ?z?3.?解：s1?(?1,2,3)，s2?(2,1,0)，s1?s2?0 所以 L1?L2

?2x?y?1?0, :??3x?z?2?0.???ijk解：s1?(?1,2,3)，s2?210?(1,?2,?3)??(?1,2,3)

301（2）L1:?x?yz?与L223所以 L1‖L2

（ⅰ）求点到直线的距离 例24、求原点到

x?1z?3?y?2?的距离。 22?x?2t?1x?1z?3??y?2?解：方法（1）化为参数方程?y?t?2 22?z?2t?3? 点（0，0，0）到直线上任意点的距离为（参数为t的点） d(t)?(2t?1)2?(t?2)2?(2t?3)2

?9t2?20t?14 ?9(t?10210010026)?14??14??9993(t??10) 9 方法（2）过点（0，0，0）与且直线垂直的平面方程为 2(x?0)?(y?0)?2(z?0)?0

?x?2t?110? 将直线L化为参数式方程为?y?t?2代入直线L的垂面方程，得t??

9?z?2t?3? 所以（0，0，0）在直线L上的垂足为(?1187,,) 999 所求距离为d?(?112827210026? )?()?()?14?39999