第八章空间解析几何与向量代数知识点，题库与答案(3)

四、考点分析

（一）向量的的基本概念的相关知识

例1、平行于向量a?(6,7,?6)的单位向量为______________.

解： ???67?6?,,? 111111??例2、 设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)，计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角. 解、M1M2=（-1，-2，1）

2?3??121,??,?? ,cos??,??M1M2=2,cos???,cos??343222例3、 设m?3i?5j?8k,n?2i?4j?7k,p?5i?j?4k，求向量a?4m?3n?p在x

轴上的投影，及在y轴上的分向量.

解 ：a=13i+7j+15k, 所以在x轴上的投影为13，在y轴上的分量为7j 例4、 在空间直角坐标系{O;i,j,k}下，求M(a, b, c)关于

(1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, －c)，

M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(－a, b, c)， M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,－b, c)， M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,－b,－c)， M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(－a, b,－c)， M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(－a,－b, c).

M (a, b, c)关于原点对称的对称点的坐标为(－a,－b, —c).

（二）向量的数量积、向量积、混合积的计算

例5、设a?3i?j?2k,b?i?2j?k，求(1)a?b及a?b；(2)(?2a)?3b及a?2b(3)a、b的夹角的余弦.

解：（1）a?b?3?1?(?1)?2?(?2)?(?1)?3

???i a?b?3jk?1?2?5i?j?7k

12?1 （2）(?2a)?3b??6(a?b)??18，a?2b?2(a?b)?10i?2j?14k

（3）cos(a,b)?^a?b3 ?a?b221例6、知M1(1,?1,2),M2(3,3,1),M3(3,1,3)，求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量. 解：M1M2?{2,4,?1},M2M3?{0,?2,2}

ijka?M1M2?M2M3?24?1?6i?4j?4k

0?22?a6?4?4??{,,} a217217217即为所求单位向量。

例7、已知OA?i?3k,OB?j?3k，求?OAB的面积

解：思路：S?OAB?1191 |OA?OB|=答案：

222i其中OA?OB?1jk03??3i?3j?1k，|OA?OB|=19

013

例8、求单位向量n，使n?a且n?x轴，其中a?(3,6,8).

解：取b?i，则n?a,n?b。 c=a?b=8j-6k,|c |=10,n=?

例9、a?b?3,a?b?{1,1,1},求?(a,b)

c1,答案：n??(8j?6k)

10|c|解：a?b?absin(a,b)=3,a?b?abcos(a,b)。tan?(a,b)??3?,答案：?(a,b)?

63例10．已知矢量a,b互相垂直，矢量c与a,b的夹角都是60，且a?1,b?2,c?3计算：

(1)(a?b)2;(2)(a?b)(a?b);(3)(3a?2b).(b?3c);(4)(a?2b?c)2

解：

(1)(a?b)?a?2a.b?b?1?2?0?22?5;(2)(a?b)(a?b)?a?b?1?22??3;(3)(3a?2b).(b?3c)?3a.b?2b?9a.c?6b.c7??8?9?3.cos60??6?2?3cos60???;2(4)(a?2b?c)?a?4ab?2ac?4bc?4b?c2?1?2?3cos60??4?2?3cos60??4?22?32?11

例11、已知平行四边形以a?﹛1，2，-1﹜，b?﹛1，-2，1﹜为两边

(1)求它的边长和内角 (2)求它的两对角线的长和夹角

222222222

解：(1)a?

22?1?1?6,b?1?22?1?6 111=- ∴??arccos或??arccos

666a?b

cos??a?b

(2)c1?a?b?10，c2?a?b?14.

cos??c1?c2c1?c2=0 ∴???2

?) 例12、已知a?1,b?5,a?b?3.试求: (1)a?b (2)?(a?b)?(a?b???(3)??(a?2b)?(b?2a)?

22

2

2解: (1) sin?(a,b)?1?cos(a,b)?1?()?354 5

2

∴a?b?a?b?sin?(a,b)?4.

2

? ?(?2a?b)2 ?4a?b ?64. (2)原式= ?(a?b)?a?(a?b)?b????(?3a?b)2=9?42?144 (3)原式=?a?b?2b?b?a?2a?4b?a??2例13、已知直角坐标系内矢量a,b,c的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积. (1)a??3,4,5?, b??1,2,2?, c??9,14,16?.

(2)a??3,0,?1?,

b??2,?4,3?,

c???1,?2,2?.

3解: (1)共面 ∵(a,b,c)=145

22?0 ∴向量a,b,c共面 9141630?1

(2)不共面 ∵(a,b,c)=2?4?1?23?2 ∴向量a,b,c不共面 以其为邻边作成2的平行六面体体积V?2

（三）求平面的曲线与曲面

例14.一动点M到A(3,0)的距离恒等于它到点B(?6,0)的距离一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？

解：动点M在轨迹上的充要条件是MA?

1MB。设M的坐标(x,y)有 2(x?3)2?y2?1(x?6)2?y2 化简得(x?6)2?y2?36 222故此动点M的轨迹方程为(x?6)?y?36 此轨迹为椭圆

例15、 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程. ⑴y?x; ⑵ x?y2?3?解:⑴?x?t

??y?t231212?a,?a?0?; ⑶x3?y3?3axy?0,?a?0?.

12令x?acos?,代入方程x?y?a

得y?a?acos2??asin2?,y?asin4?

4??x?acos?. ?参数方程为?4??y?asin?41212121212121233⑶令y?tx,代入方程x?y?3axy?0

得1?tx?3atx?0

?3?32?x21?t3x?3at?0

?x?0或x?3at1?t3

????

3at3at2当x?0时,y?0;当x?时,y?

1?t31?t33at?x???1?t3故参数方程为?. 23at?y??1?t3?

(四)空间的曲线与曲面方程及投影

例15、 一动点移动时，与A(4,0,0)及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C， 则M(x,y,z)?C22?2MA?z

?z

亦即(x?4)?y?z?(x?4)2?y2?0

由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(x?4)?y?0

例16、 求下列各球面的方程： （1）中心(2,?1,3)，半径为；R?6 （2）中心在原点，且经过点(6,?2,3)； （3）一条直径的两端点是(2?3,5)与(4,1,?3) （4）通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,?4)

（5）求中心在C(3,?5,2)且与平面2x?y?3z?11?0相切的球面方程。 . 解：（1）所求的球面方程为：

22(x?2)2?(y?1)2?(z?3)2?36

（2）球面半径R?62?(?2)2?32?7

所以类似上题，得球面方程为