反比例函数综合题解答(5)

半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB． 【答案】 解：（1）点P在线段AB上，理由如下：

yBPQOAx（第26题） ∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90°

∴AB是⊙P的直径 ∴点P在线段AB上．

（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，由题意可知PP1、PP2

11是△AOB的中位线，故S△AOB＝2OA×OB＝2×2 PP1×PP2 6∵P是反比例函数y＝x（x＞0）图象上的任意一点

11∴S△AOB＝2OA×OB＝2×2 PP1×2PP2＝2 PP1×PP2＝12．

（3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON＝S△AOB＝12． ∴OA·OB＝OM·ON

OAON?∴OMOB

∵∠AON＝∠MOB ∴△AON∽△MOB ∴∠OAN＝∠OMB ∴AN∥MB．

yBNPQOAMx

15. （2011山东聊城，24，10分）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数

y?4?2mx（x>0）图象于点A、B，交x轴于点C．

（1）求m的取值范围；

BC1?（2）若点A的坐标是（2，－4），且AB3，求m的值和一次函数的解析式；

【答案】（1）因反比例函数的图象在第四象限，所以4－2m＜0，解得m＞2；（2）因点A(2，

4?2m2，解得m＝6，过点A、B分别作AM⊥OC于－4)在反比例函数图象上，所以－4＝

点M，BN⊥OC于点N，所以∠BNC＝∠AMC＝90°，又因为∠BCN＝∠AMC，所以△BCN

BNBCBC1BC1BN1????AC，因为AB3，所以AC4，即AM4，因为AM＝∽△ACM，所以AM4，所以BN＝1，所以点B的纵坐标为－1，因为点B在反比例函数的图象上，所以当y＝

－1时，x＝8，所以点B的坐标为（8，－1），因为一次函数y＝kx＋b的图象过点A(2，－

1??k??2k?b??42?1??b??58k?b??14)，B(8，－1)，所以?，解得?，所以一次函数的解析式为y＝2x－5

y?16. （2011四川成都，19,10分）如图，已知反比例函数8），直线

k1(k?0)x的图象经过点（2，

y??x?b经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．

(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式； (2)设该直线与x轴、

y轴分别相交于A 、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为

P，连结0P、OQ，求△OPQ的面积．

11k?x?y??8?42【答案】解：（1）由反比例函数的图象经过点（2，8），可知，所以

y?反比例函数解析式为

44m??1y??x?b的交点，4x，∵点Q是反比例函数和直线∴，

b?x?y?4?1?5，∴直线的解析式为y??x?5.

y??x?5可知与x轴和y轴交点坐标点A与点B的坐

∴点Q的坐标是（4，1），∴

（2）如图所示：由直线的解析式

标分别为（5，0）、（0，5），由反比例函数与直线的解析式可知两图像的交点坐标分别点P（1，4）和点Q（4，1），过点P作PC⊥

y轴，垂足为C，过点Q作QD⊥x轴，垂足为D，

111∴S△OPQ=S△AOB-S△OAQ-S△OBP =2×OA×OB-2×OA×QD-2×OB×PC

11115=2×25-2×5×1-2×5×1=2.

17. （2011四川广安，24，8分）如图6所示，直线l1的方程为y=－x+l，直线l2的方程为

y=x+5，且两直线相交于点P，过点P的双曲线（1）求双曲线的解析式．

y?kx与直线l1的另一交点为Q（3．M）.

k（2）根据图象直接写出不等式x＞－x+l的解集．

y _ l1 _ p _ o _ l2 _ Q _ x _ 图6

?y??x?1?y?x?5【答案】解：（1）依题意：? ?x??2?y?3解得：?

?6∴双曲线的解析式为：y=x

（2）－2＜x＜0或x>3

18. （2011四川内江，21，10分）如图，正比例函数

y1?k1x与反比例函数

y2?k2x相交于

A、B点，已知点A的坐标为（4，n），BD⊥x轴于点D，且S△BDO=4。过点A的一次函数

y3?k3x?b与反比例函数的图像交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）。

（1）求正比例函数

y1、反比例函数

y2和一次函数

y3的解析式；

（2）结合图像，求出当

k3x?b?k2?k1xx时x的取值范围。

【答案】（1）设B（p，q），则

k2?pq

18(?p)(?q)y2?pq?8，所以k2?8，所以x 又S△BDO=2=4，得

4k1?2,k1?11y1?x2，所以2

得A(4，2) ，得

?4k3?b?2?k3??2??5k?b?0b?10y??2x?10由?3得?，所以3

（2）x??4或1?x?4

19. （2011四川宜宾,21,7分）如图，一次函数的图象与反比例函数

y1??3x（x＜0）的图

象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），当x＜－1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞－1时，一次函数值小于反比例函数值． （1）求一次函数的解析式；

（2）设函数

y2?a3ay1??y2?x（x＞0）的图象与x（x＜0）的图象关于y轴对称，在x（x

＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形

BCQP的面积等于2，求P点的坐标．