2004研究生数学二真题及详解(5)

【详解】A的特征多项式为

??1

?233??5?11?1??4?a1??22???1??4?10?a03

??5100 ?(??2)1??4?a?13?(??2)1??33 ??5?1?a?1??5 ?(??2)(?2?8??18?3a).

2若??2是特征方程的二重根, 则有2?16?18?3a?0, 解得a??2.

?1?23???当a??2时, A的特征值为2, 2, 6, 矩阵2E?A??1?23?的秩为1,

??12?3???故??2对应的线性无关的特征向量有两个, 从而A可相似对角化.

2若??2不是特征方程的二重根, 则??8??18?3a为完全平方,

从而18?3a?16, 解得a??2. 3???3?23???203?的秩为2, 当a??时, A的特征值为2, 4, 4, 矩阵2E?A??13??2?1???13??故??4对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而A不可相似对角化.