2004研究生数学二真题及详解(2)

（3

?2.

【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解1】

?1?1.

??sect?tant?x?sect?2dt??2dt?.

0sect?tant02xx2?1dxdxxx?12??【详解2】

??x?1t?101t11?1(?2)dt??dt?arcsint0?.

02t11?t2?1t2（4）

2【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解1】在 z?e2x?3z?2y 的两边分别对x,y求偏导,z为x,y的函数.

?z?z?e2x?3z(2?3), ?x?x

?z?z?e2x?3z(?3)?2, ?y?y?z2e2x?3z?从而 , ?x1?3e2x?3z

?z2? 2x?3z?y1?3e?z?z1?e2x?3z所以 3??2??2

?x?y1?3e2x?3z【详解2】令 F(x,y,z)?e则

2x?3z?2y?z?0

?F?F?F?e2x?3z?2, ?e2x?3z(?3)?1 ?2, ?x?z?y?F2x?3z2x?3z?ze?22e???x??? ?,

?F?x?(1?3e2x?3z)1?3e2x?3z?z?F?z22???y??? ,

?F?y?(1?3e2x?3z)1?3e2x?3z?z?3e2x?3z?z?z1从而 3??2??2x?3z?x?y1?3e2x?3z?1?3e【详解3】利用全微分公式,得

???2 ?dz?e2x?3z(2dx?3dz)?2dy

?2e2x?3zdx?2dy?3e2x?3zdz (1?3e2x?3z)dz?2e2x?3zdx?2dy

2e2x?3z2dx?dy ?dz?2x?3z2x?3z1?3e1?3e?z2e2x?3z?z2?? 即 , ?x1?3e2x?3z?y1?3e2x?3z 从而 3?z?z??2 ?x?y.

（5）

y?13x?x5【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.

【详解1】原方程变形为 先求齐次方程

dy11?y?x2, dx2x2dy1?y?0 的通解: dx2x

dy1?dx y2x1lnx?lnc ?y?cx 2积分得 lny?设y?c(x)x为非齐次方程的通解,代入方程得 c?(x)x?c(x)12x?11c(x)x?x2 2x213从而 c?(x)?x2,

25131积分得 c(x)??x2dx?C?x2?C,

25于是非齐次方程的通解为

1513 y?x(x2?C)?Cx?x

556?C?1, 513故所求通解为 y?x?x.

5dy11?y?x2, 【详解2】原方程变形为

dx2x2 y?x?1由一阶线性方程通解公式得

11dx?1??dx??2 y?e2x??xe2xdx?C?

?2?1lnx2lnx?12?1?2xedx?C??? 2?? ?e5?13???1 ?x??x2dx?C??x?x2?C?

?2??5?6?C?1, 513从而所求的解为 y?x?x.

5 y(1)?（6）

19.

【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值. 【详解1】 ABA?2BA?E ? ????ABA?2B?A?, E(A?2E)BA??E,

? ?A?2EBA?E?1,

B?1111. ???2?010(?1)?(?1)39A?2EA2100A00?1【详解2】由A??AA?1,得 ABA??2BA??E ? ? ?B??ABAA?1?2BAA?1?AA?1

AAB?2AB?A A(A?2E)B?A ?1AA?2E2A3A?2EB?A

?1 9二. 选择题 （7）

?B?

【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.

【详解】

x?0lim???lim?x?0???x0x0sint3dt

2costdt1sinx? ?lim?x?0322x cosx2 ?lim?x?0xx?lim?0, ?x?022x32即 ??o(?).

??lim又 limx?0?x?0??x20?tanx?2x2x2?lim?lim?0, 3xx?0?x?0?131xsinx2??0sintdt22xtantdt即 ??o(?).

?、?, 故选（B）. 从而按要求排列的顺序为?、（8）?C?

【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论x?0两方f?(x), f??(x)的符号.

【详解】 f(x)????x(1?x),?1?x?0,

0?x?1?x(1?x),??1?2x,?1?x?0,

0?x?1?1?2x,?1?x?0,

0?x?1 f?(x)???2,?? f(x)????2,从而?1?x?0时, f(x)凹, 1?x?0时, f(x)凸, 于是(0,0)为拐点.

1时, f(x)?0, 从而x?0为极小值点. 又f(0)?0, x?0、所以, x?0是极值点, (0,0)是曲线y?f(x)的拐点, 故选（C）.

（9）?B?

【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换后,从四个选项中选出正确的.

【详解】 limlnn(1?)(1?)n??1n22n2n(1?)2

n2nn(1?)?

n?2?n ?limln?(1?)(1?)n????1n ?lim2?12ln(1?)?ln(1?)?n??n?nn?n??(1?)?

n? ?lim2n??i1ln(1?) ?nni?1n ?2?0ln(1?x)dx

?1lntdt

21 1?x?t2 ?2故选（B）.

（10）?C2?1lnxdx

?

【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数f(x)在x?0附近的局部性质. 【详解】由导数的定义知