2004研究生数学二真题及详解(4)

（19）【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.

【详证1】设?(x)?lnx?4x, 则 2elnx4??(x)?2?2

xe1?lnx ???(x)?22,

x2所以当x?e时, ???(x)?0, 故??(x)单调减小, 从而当e?x?e时, ??(x)???(e)?即当e?x?e时, ?(x)单调增加.

因此, 当e?a?b?e时, ?(b)??(a), 即 lnb?222244??0, e2e2442b?lna?a 22ee422故 lnb?lna?2(b?a).

e422【详证2】设?(x)?lnx?lna?2(x?a), 则

elnx4??(x)?2?2

xe1?lnx ???(x)?22,

x2?x?e时, ???(x)?0???(x)2, 从而当e?x?e时,

2 ??(x)???(e)?44?2?0, 2ee?e?x?e2时, ?(x)单调增加.

?e?a?b?e2时, ?(x)??(a)?0。令x?b有?(b)?0

即 lnb?lna?

【详证3】证 对函数lnx在[a,b]上应用拉格朗日定理, 得 lnb?lna?222224(b?a). 2e2ln??(b?a), a???b.

设?(t)?lnt1?lnt, 则??(t)?, tt2当t?e时, ??(t)?0, 所以?(t)单调减小, 从而?(?)??(e2), 即

lne22 ?2?2,

?eeln?故 lnb?lna?224(b?a) 2e（20）【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.

【详解1】由题设,飞机的质量m?9000kg,着陆时的水平速度v0?700km/h.从飞机接触跑道开始记时,设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t).

根据牛顿第二定律,得

dv??kv. dtdvdvdxdv???v, 又

dtdxdtdxm ?dx??dv,

km积分得 x(t)??v?C,

km由于v(0)?v0,x(0)?0, 故得C?v0, 从而

km x(t)?(v0?v(t)).

k m当v(t)?0时, x(t)?mv09000?700??1.05(km). k6.0?106所以,飞机滑行的最长距离为1.05km.

【详解2】根据牛顿第二定律,得

dv??kv. dtdvk??dt, 所以 vm m两边积分得 v?Ce?ktm,

代入初始条件 vt?0?v0, 得C?v0,

k?tm ?v(t)?v0e故飞机滑行的最长距离为 x?

,

?????0ktmv0?mv(t)dt??ek?0mv0?1.05(km). k【详解3】根据牛顿第二定律,得

d2xdx m2??k,

dtdtd2xkdx??0, dt2mdt其特征方程为 r?解得r1?0, r2??2kr?0, mk， mk?tm故 x?C1?C2e，

dx由x(0)?0, v(0)?dtt?0ktkC2?m??em?v0，得C1??C2?t?0mv0， kk?tmv0?x(t)?(1?em).

k当t???时,

x(t)?mv09000?700??1.05(km). 6k6.0?10所以,飞机滑行的最长距离为1.05km.

（21）【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算. 【详解】

?z?2xf1??yexyf2?, ?x

?z??2yf1??xexyf2?, ?y?2zxy??(2y?)???2x[ff11??1?2xe?]?x?yxye??2fxy?ye???? ]xxy?exy[2ff2yf1?(?2y)?22?xe???2(x2?y2)exyf12????xye2xyf22???exy(1?xy)f2?. ??4xyf11（22）【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.

【详解1】对方程组的系数矩阵A作初等行变换, 有

?1?a?2 ??3??4?12?a34123?a41?1a11?1?????2??a2a00????B ???3?a30a0?????a4??4a?00a???当a?0时, r(A)?1?4, 故方程组有非零解, 其同解方程组为 x1?x2?x3?x4?0. 由此得基础解系为

?1?(?1,1,0,0)T, ?2?(?1,0,1,0)T, ?3?(?1,0,0,1)T, 于是所求方程组的通解为

x?k1?1?k2?2?k3?3, 其中k1,k2,k3为任意常数. 当a?0时,

?1?a??2 B????3???4?110010101??a?10??0??2????30?????41???010000100??0? 0??1??当a??10时, r(A)?3?4, 故方程组也有非零解, 其同解方程组为

??2x1?x2?0,? ??3x1?x3?0,

??4x?x?0,?14由此得基础解系为

??(1,2,3,4), 所以所求方程组的通解为

x?k?, 其中k为任意常数.

【详解2】方程组的系数行列式

T111??1?a??22?a22??(a?10)a3. A???333?a3????4?444?a??当A?0, 即a?0或a??10时, 方程组有非零解. 当a?0时, 对系数矩阵A作初等行变换, 有

?1?2A???3??4?故方程组的同解方程组为

123412341??11??2?00???003????004???10001??0? ?0?0?? x1?x2?x3?x4?0. 其基础解系为

?1?(?1,1,0,0)T, ?2?(?1,0,1,0)T, ?3?(?1,0,0,1)T, 于是所求方程组的通解为

x?k1?1?k2?2?k3?3, 其中k1,k2,k3为任意常数. 当a??10时, 对A作初等行变换, 有

11???9111???91????2?82220?1000???? A???33?73??300?100?????444?6???400?0?10??????9??2 ????3???4?故方程组的同解方程组为

110010101??0??0??2????30?????41???010000100??0? ?0?1???x2?2x1,? ?x3?3x1,

?x?4x,?41其基础解系为??(1,2,3,4),

所以所求方程组的通解为x?k?, 其中k为任意常数

（23）【分析】由矩阵特征根的定义确定a的值，由线性无关特征向量的个数与?E?A秩之间的关系确定A是否可对角化.

T【详解】A的特征多项式为

??1

?233??5?11?1??4?a1??22???1??4?10?a03

??5100 ?(??2)1??4?a?13?(??2)1??33 ??5?1?a?1??5 ?(??2)(?2?8??18?3a).

2若??2是特征方程的二重根, 则有2?16?18?3a?0, 解得a??2.

?1?23???当a??2时, A的特征值为2, 2, 6, 矩阵2E?A??1?23?的秩为1,

??12?3???故??2对应的线性无关的特征向量有两个, 从而A可相似对角化.

2若??2不是特征方程的二重根, 则??8??18?3a为完全平方,

从而18?3a?16, 解得a??2. 3???3?23???203?的秩为2, 当a??时, A的特征值为2, 4, 4, 矩阵2E?A??13??2?1???13??故??4对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而A不可相似对角化.